线性筛素数(巨好理解)

这篇博客介绍了线性筛素数的方法,通过枚举每个数的最小素因子来实现,复杂度为O(n)。文章给出了输入输出样例,并提供了相应的代码实现。

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题目描述

如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内)

输入格式

第一行包含两个正整数N、M,分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数,即询问该数是否为质数。

输出格式

输出包含M行,每行为Yes或No,即依次为每一个询问的结果。

输入输出样例
输入 #1

100 5
2
3
4
91
97

输出 #1

Yes
Yes
No
No
Yes

介绍

素数有很多种筛法,比较多见的是埃式筛法(复杂度是nloglogn)。
这里想讲的是线性筛素数。
首先任何一个数a, 一定由某个 最小素因子b * 另一个数c得来的,即
a = b ( 最 小 素 因 子 ) ∗ c ( c > = b ) a = b(最小素因子) * c (c >= b) a=bc(c>=

<think>好的,我需要帮助用户找到C++实现线性筛法求素数的代码。用户提到了参考内容中的引用[1]、[2]、[3],里面提供了两种不同的代码示例。首先,我应该仔细阅读这些引用中的代码,理解它们的结构和实现逻辑。 首先看引用[1]的代码,它使用数组a来标记是否为合数,pri数组存储素数。主循环从2开始,如果a[i]为0,则将i加入素数数组。然后内层循环遍历已找到的素数,标记它们的乘积为合数,并在i能被当前素数整除时跳出,确保每个合数只被最小质因子筛掉。这符合线性筛法的核心思想。 接下来引用[2]的代码结构类似,但变量名不同。它使用isNotPrime数组来记录非素数,prime数组存储素数。主循环同样遍历每个数,如果是素数则加入数组,内层循环标记乘积,同样在遇到最小质因子时终止循环。 用户需要的是C++实现,所以需要将这两种代码整合或选择一个更清晰的版本。需要注意代码的可读性,比如变量命名和注释。同时,要确保算法正确性,比如正确初始化数组,循环边界处理等。 可能需要检查代码中的数组大小是否符合用户需求,比如引用[1]中的数组大小是100005,而引用[2]是MAXP=200000。用户可能需要根据实际情况调整数组大小,但示例代码应展示基本结构。 然后,结合用户提供的示例代码结构,比如欧拉筛法的实现,确保给出的代码正确无误,并解释关键步骤。比如,外层循环遍历每个数i,内层循环用已知素数标记i的倍数,并在i%prime[j]==0时break,避免重复标记。 最后,总结线性筛法的优点,如O(n)时间复杂度和高效性,引用参考中的内容支持这些结论,如引用[3]提到效率提升一倍。需要确保引用标注正确,比如在适当的地方添加[^1]、[^2]、[^3]。 可能还需要生成相关问题,比如与普通筛法的区别、时间复杂度分析、优化点等,帮助用户深入理解。这些问题应基于参考内容,如埃氏筛与线性筛的比较,性能优化方法等。 总之,步骤包括:分析参考代码,整合或选择一个合适的实现,确保代码正确性和可读性,添加必要注释,解释关键步骤,引用相关参考文献,最后生成相关问题。</think>以下是使用C++实现线性筛法(欧拉筛法)求素数的详细代码和解析: ### C++线性筛法实现 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MAX_N = 1000000; // 筛数范围 int primes[MAX_N]; // 存储素数数组 bool isComposite[MAX_N]; // 标记是否为合数 int main() { int primeCount = 0; // 素数计数器 // 初始化标记数组 isComposite[0] = isComposite[1] = true; for (int i = 2; i < MAX_N; ++i) { // 如果i是素数,加入素数数组 if (!isComposite[i]) { primes[primeCount++] = i; } // 用当前数i与已知素数相乘标记合数 for (int j = 0; j < primeCount; ++j) { int multiple = i * primes[j]; if (multiple >= MAX_N) break; isComposite[multiple] = true; // 关键优化:保证每个合数只被最小质因子筛除 if (i % primes[j] == 0) break; } } // 输出结果(示例) for (int k = 0; k < primeCount; ++k) { cout << primes[k] << " "; } return 0; } ``` ### 关键解析 1. **算法核心**:通过$i * primes[j]$标记合数,当$i \% primes[j] = 0$时终止内层循环,确保每个合数只被其最小质因子筛除[^1][^2] 2. **时间复杂度**:$O(n)$线性复杂度,效率显著高于埃氏筛法的$O(n \log \log n)$[^3] 3. **空间优化**:使用布尔数组代替整型数组,内存占用减少约75% 4. **最大范围**:`MAX_N`可根据需求调整,注意栈空间限制(当$MAX_N > 10^6$时建议使用动态内存) ###
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