一般生成函数和指数生成函数

一开始搞不懂指数生成函数到底是什么组合意义……

一般生成函数（OGF）

一般生成函数常用于多重集选择组合问题。

例：多重集中有 $n$ 种不同的元素，每种分别有 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 个，求从中选出 $m$ 个的组合方案数。

我们设第 $i$ 种元素的一般生成函数为 $G_i(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{a_i}$。

设 $F(x)=\prod _{i=1}^n{G}_i(x)=(1+x+\cdots +x^{a_1})(1+x+\cdots +x^{a_2})\cdots (1+x+\cdots +x^{a_n})$，那么 $F(x)$ 的 $m$ 次项的系数即为答案。

指数生成函数（EGF）

指数型母函数适用于解决多重集选择排列问题。

例：多重集中有 $n$ 种不同的元素，每种分别有 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 个，求从中选出 $m$ 个并排列的方案数。

注意并不是求出组合方案数再乘上 $m!$ 就可以得到排列方案数了，因为选出的这 $m$ 个元素有可能有相同的。

但是先确定组合再确定排列这个思路是没有问题的。

考虑一种组合的方案，其中第 $i$ 种元素选了 $b_i$ 个（$\sum _{i=1}^n{b}_i=m$）。那么这种组合方案所贡献出的排列方案为 $\frac{m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!}$，相当于我先从 $m$ 个位置中选出第 $1$ 种元素放的位置，再选出第 $2$ 种元素放的位置……以此类推。

所以如果我们设第 $i$ 中元素的指数生成函数为 $G_i(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^{a_i}}{a_i!}$，

且 $F(x)=\prod _{i=1}^n{G}_i(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}\cdots +\frac{x^{a_1}}{a_1!}\right)\left(1+x+\frac{x^2}{2!}\cdots +\frac{x^{a_2}}{a_2!}\right)\cdots \left(1+x+\frac{x^2}{2!}\cdots +\frac{x^{a_n}}{a_n!}\right)$。

恰好发现 $F(x)$ 也是答案的指数生成函数，那么 $F(x)$ 的 $m$ 次项系数再乘回个 $m!$ 即为答案。

同时你也发现了它的另一种类似的组合意义：将 $m$ 个不同的元素分成若干组，第 $i$ 组至多有 $a_i$ 个，求分组方案数。

这个组合意义和我们上面说的这段话类似：

我先从 $m$ 个位置中选出第 $1$ 种元素放的位置，再选出第 $2$ 种元素放的位置……以此类推

所以说两种组合意义实际上是相通的。