poj3734 Blocks [指数型生成函数]

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本文介绍了一种利用生成函数解决特定排列问题的方法，具体为计算在一定条件下对地砖进行染色的方案数量。通过定义不同颜色的生成函数并结合泰勒展开公式，最终得出解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:
一列 $n$ 块地砖，可以染成红黄蓝绿四种颜色之一，并且要求黄绿数量为偶数，问方案数。

Solution:
排列问题并且每种元素内部没有顺序，利用指数型生成函数解决。
分别设四种颜色的生成函数为A,B,C,D
$A(x)=C(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{x^i}{i!}}$
$B(x)=D(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{x^{2i}}{(2i)!}}$
根据泰勒展开
$\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{x^i}{i!}}=e^x$
$\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{x^{-i}}{i!}}=e^{-x}$
得出
$A(x)=C(x)=e^x$
$B(x)=D(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
所以方案数即为
$A(x)B(x)C(x)D(x)=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}$
常数项忽略不计
因为
$e^{kx}的第n项系数为\frac{k^n}{k!}$
所以带回得出
$=\frac{4^n+2*2^n}{4n!}$
乘上阶乘得出答案为
$\frac{4^n+2*2^n}{4}$

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P = 10007;
ll n;
ll power(ll x, ll t) {
    ll ret = 1;
    for(; t; t >>= 1, x = x * x % P) {
        if(t & 1) {
            ret = ret * x % P;
        }
    }
    return ret;
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld\n", (power(4, n) + 2 * power(2, n)) % P * power(4, P - 2) % P);
    }
    return 0;
}