指数生成函数小练

最新推荐文章于 2022-07-25 23:26:31 发布
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#指数生成函数

这篇博客介绍了指数生成函数在解决复杂组合问题，尤其是涉及排列问题时的应用。通过两个具体的题目——POJ3734 Blocks和HDU1521 排列组合，阐述了如何利用指数生成函数来计算方案数。博客内容包括题意解析、解题思路和代码实现。

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介绍

对于一些很复杂/凑数的组合题目，我们用普通的生成函数，特别是那些涉及二项式系数的数列，这是因为ta有二项式定理的形式
现在针对排列问题，我们有“指数生成函数”这种东西，即对于一个无穷数列h，他的指数生成函数g(x)定义为
g(x)=∑infn=0xnn!=h1+h2x+h3x22!+... g ( x ) = ∑ n = 0 i n f x n n ! = h 1 + h 2 x + h 3 x 2 2 ! + . . .
然后一些套路图直接引用这个up的啦
这里写图片描述
这里写图片描述

T1

POJ3734 Blocks

题意

用红黄蓝绿给n个格子染色，要求红色和绿色必须是偶数个，求方案数。对10007取模。

思路

涉及到了排列问题，我们用指数型生成函数
其实套路跟普通的生成函数一样了，只不过列的初始柿子不一样了

(1+x22!+x44!...)2(1+x+x22!
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指数型生成函数(EGF)略解
qq_38253946的博客
07-30 1668
因为我菜，所以我只能把重点的写一手。 学习了这篇文章 首先，生成函数是来简化运算、方便表达的。 ex=∑i=0∞xii!e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}ex=i=0∑∞​i!xi​ 然后给出一堆式子： G^(x)=1−x+x22!−x33!+⋯=e−xG^(x)=1+x22!+x44!+x66!⋯=ex+e−x2G^(x)=x+x33!+x55!+x77!⋯=ex−e−x2G^(x)=x−x22+x33⋯=ln⁡(1+x)G^(x)=x−x33!+x55!⋯=sin
生成函数(母函数)——目前最全的讲解
aiweiluan5095的博客
10-27 3595
生成函数(母函数) 什么是生成函数：wiki上的介绍 在数学中，某个序列(an)n∈N\large {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}(an​)n∈N​ 的母函数（又称生成函数，英语：Generating function）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母...
【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )
让 学习 成为一种 习惯 ( 韩曙亮 の 技术博客 )
10-30 2028
一、指数生成函数、 二、排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数、 三、指数生成函数示例、
指数生成函数
qq_40052678的博客
07-25 979
牛客数学班生成函数篇——指数生成函数
指数型生成函数 及 多项式求ln
weixin_30515513的博客
06-15 330
指数型生成函数 我们知道普通型生成函数解决的是组合问题，而指数型生成函数解决的是排列问题 对于数列\(\{a_n\}\)，我们定义其指数型生成函数为 \[G(x) = a_0 + a_1x + a_2\frac{x^2}{2!} + a_3\frac{x^3}{3!} + a_4\frac{x^4}{4!} + \dots = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i\f...
指数型生成函数
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
10-10 479
hdu1521 排列组合 数量固定 code： hdu1521 hdu2065 "红色病毒"问题 数量无限 题目要求A、C出现偶数次，B、D出现任意次 则生成函数为: 因为我们要选n个字母，所以要找xn/(n!)的项的系数 这就要用到泰勒展开： e4x展开后我们需要的项的系数为4n(把上面式子的x换成4x就行了) 同理e2x展开后我们需要的项的系数为2n， 因为我们原式子中是2e2x，自...
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉离散数学生成函数与递推关系省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课(1).pptx
最新发布
07-08
课程详细讲解了幂级数型生成函数和指数型生成函数。幂级数型生成函数通常用于处理多重集组合问题，如将不同颜色的球进行组合的方式数量。而指数型生成函数则更多地用于排列问题，如多重集排列的数量计算。 递推关系...
用RNN训练语言模型生成文本
01-27
困惑度是交叉熵的指数形式，越低表示模型预测的准确性越高。 **模型训练** 训练RNN语言模型时，模型的参数（如H, I, U, b1, b2）通过反向传播算法进行更新，通常结合优化器（如Adam）来最小化损失函数。模型会在...
matlab基础训练_从零开始学习_matlab基础训练_快速掌握_matlab基本函数_matlab基本功能训练_
10-03
2. **算术运算**：MATLAB支持常见的算术运算符，如加法`+`、减法`-`、乘法`*`、除法`/`以及指数运算`^`。需要注意的是，MATLAB中乘法和除法对于矩阵是按元素进行的，而`.*`和`./`用于矩阵乘法。 3. **流程控制语句*...
hdu 2065 指数型生成函数
一切顺其自然
10-31 512
题目传送门：点击打开链接 这道题 g(x)=(1+x^2/2!+x^4/4!......)^2*(1+ 需要自己算出其指数生成函数中 的系数为4^(n-1)+2^(n-1)，然后用快速幂计算结果即可。
poj3734 Blocks [指数型生成函数]
pocket_legend
03-24 546
Description: 一列nnn块地砖，可以染成红黄蓝绿四种颜色之一，并且要求黄绿数量为偶数，问方案数。 Solution: 排列问题并且每种元素内部没有顺序，利用指数型生成函数解决。 分别设四种颜色的生成函数为A,B,C,D A(x)=C(x)=∑∞i=1xii!A(x)=C(x)=∑i=1∞xii!A(x)=C(x)=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{x^i...
指数型生成函数&[bzoj3456]城市规划
zhouyuheng2003的博客
01-29 457
前言 打完多项式板子后的第一题+清真的题意 题目相关 题目链接 题目大意 求nnn个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目 输出模1004535809(479∗221+1)1004535809(479*2^{21}+1)1004535809(479∗221+1) 数据范围 n≤130000n\le 130000n≤130000 题解 暴力 我只推出了个暴力，感觉和多项式没啥关系 如果没有任何限制，...
一般生成函数和指数生成函数
ez_lcw的博客
07-15 800
一开始搞不懂指数生成函数到底是什么组合意义…… 一般生成函数（OGF） 一般生成函数常用于多重集选择组合问题。 例：有 nnn 种不同的物品，每种分别有 a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_na1​,a2​,⋯,an​ 个，求从中选出 mmm 个的组合方案数。 我们设第 iii 种物品的一般生成函数为 Gi(x)=1+x+x2+⋯+xaiG_i(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{a_i}Gi​(x)=1+x+x2+⋯+xai​。 设 F(x)=∏i=1nGi(x)=(1+x+⋯+
3.2 指数型生成函数
weixin_30920597的博客
11-06 326
指数型母函数：（用来求解多重集的排列问题） n个元素，其中a1，a2，····，an互不相同，进行全排列，可得n!个不同的排列。 若其中某一元素ai重复了ni次，全排列出来必有重复元素，其中真正不同的排列数应为，即其重复度为ni! 同理a1重复了n1次，a2重复了n2次，····，ak重复了nk次，n1+n2+····+nk=n。 对于这样的n个元素进...
指数型生成函数（EGF）学习笔记
weixin_30906671的博客
03-24 557
之前，我们学习过如何使用生成函数来做一些组合问题（比如背包问题），但是它面对排列问题（有标号）的时候就束手无策了。 究其原因，是因为排列问题的递推式有一些系数（这个待会就知道了），所以我们可以修改一下生成函数的式子。 对于数列$\{a_n\}$，它的指数型生成函数（EGF）为 $$F^{(e)}(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_i*\frac{x^i}{i!}$$ 至...
poj 3734 Blocks
weixin_30822451的博客
05-17 142
Blocks Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K ...
POJ 3734 ：Blocks（指数型生成函数）
qq_41997978的博客
09-22 285
题目大意：有一排砖头要上色，有四种颜色，其中两种用的数量必须是偶数，另外两种不限制用的数量，四种颜色的都有无限量的存储，求涂色方案。 题解：指数型生产函数裸题 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod = 10007; ll fpow(ll a,ll b) { ...
生成函数
taotao 的大学墓志
12-02 3450
组合数学里面的生成函数是一个非常有力的工具，主要用在计数，以及求解递推公式上面。这里简要总结一下《组合数学》Brualdi中的生成函数的应用组合型生成函数考虑这样一个问题求解 e1+e2+...+ek=ne_1+e_2+...+e_k = n 的非负整数解的总数 单独考虑选择e1e_1的种类数 11−x=∑∝i=0xi\frac{1}{1-x} = \sum_{i = 0}^\propto
ZOJ - 4069(2018 青岛现场赛 L) - 指数型生成函数
过路人丶的博客
12-05 814
题目链接:https://vjudge.net/problem/ZOJ-4069   解题思路: 1.n个点组成环的不同种类数是(n-1)!/2;n个点组成一条链的不同种类数是n!/2,特别的n==1时种类数为1。 用指数型生成函数表示k个点形成链的种类: 1/2(2x+2!*x^2/2!+3!*x^3/3!+4!*x^4/4!+..+n!*x^n/n!) = 1/2(2*x+x^2+x^...
指数衰减函数
03-19
### 指数衰减函数的概念 指数衰减函数是一种描述某一变量随时间或其他因素逐渐减少的数学模型。其基本形式通常表示为 \( y = a \cdot e^{-b \cdot x} + c \)[^5]，其中： - \( a \) 是初始值； - \( b \) 控制衰减速率； - \( c \) 表示最终趋于稳定的值。 这种函数广泛应用于物理、工程学、生物学等领域，用来模拟诸如放射性物质衰变、温度冷却过程等现象。 --- ### 编程实现指数衰减函数 以下是使用 Python 实现的一个简单例子，展示如何生成并绘制指数衰减曲线： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def exponential_decay(x, a=1.0, b=0.1, c=0.0): """ 计算指数衰减函数 """ return a * np.exp(-b * x) + c # 参数设置 x_values = np.linspace(0, 20, 500) # 定义输入范围 y_values = exponential_decay(x_values) # 绘图 plt.plot(x_values, y_values, label="Exponential Decay", color='blue') plt.title("Exponential Decay Function") plt.xlabel("Time or Other Factor") plt.ylabel("Value") plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` 此代码片段展示了如何利用 NumPy 和 Matplotlib 库来定义和可视化指数衰减函数[^2]。通过调整参数 `a`、`b` 和 `c` 的值，可以改变曲线的具体形状及其收敛特性。 --- ### 指数衰减函数的应用场景 #### 1. **机器学习中的学习率调度** 在深度学习领域，训练过程中动态调节优化器的学习率是一个常见需求。指数衰减策略允许随着迭代次数增加而逐步降低学习率，从而提高模型稳定性。例如 TensorFlow 提供了内置方法 `tf.train.exponential_decay` 来实现这一功能[^4]。 #### 2. **信号处理中的滤波与降噪** 对于某些含有噪声干扰的实际数据流，在对其进行分析前可能需要先施加平滑操作。此时引入带有指数权重因子的时间窗口能够有效抑制高频分量影响的同时保留低频趋势信息[^3]。 #### 3. **推荐系统中的用户行为建模** 考虑到用户的兴趣偏好可能会随着时间推移发生变化，因此设计评分机制时往往加入时间维度考量。具体而言就是赋予近期活动更高的重要程度，而对于较早发生的事件则给予较低权衡比例——这正是典型意义上的“指数遗忘”思想体现[^5]。 #### 4. **物理学中的自然现象仿真** 无论是原子核裂变还是热传导过程都可以借助类似的数学表达式来进行定量刻画研究。比如牛顿冷却定律就正好对应于线性的温差变化规律下的特殊情况版本之一[^1]。 ---
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