【XSY2508】【BZOJ4424】Fairy（二分图）

最新推荐文章于 2021-03-17 22:43:04 发布

ez_lcw

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分类专栏： # 二分图 # 奇偶环文章标签： XSY BZOJ

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奇偶环

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题面

Description

给定 $n$ 个点， $m$ 条边的无向图（无自环），可以从图中删除一条边，问删除哪些边可以使图变成一个二分图。

Input

第 $1$ 行包含两个整数 $n$ , $m$ ，分别表示点数和边数。

第 $2\sim m+1$ 行每行两个数 $x$ , $y$ ，表示有一条边连接点 $x$ , $y$ 。

Output

第一行两个整数，表示能删除的边的个数。

接下来一行按照从小到大的顺序输出能删除的边的编号。

Sample Input

Sample Output

4
1 2 3 4

HINT

$10\%$ 的数据， $n, m < = 10$

$40\%$ 的数据， $n, m < = 1000$

$70\%$ 的数据， $n, m < = 100000$

$100\%$ 的数据， $n, m < = 2000000$

题解

考虑如何判断一个图是否为二分图：判断图中有无奇环，这可以用 $d e e p$ 或 $c o l o r$ （染色法）维护。

那么假设图中有 $k$ 个奇环，要删掉一条边使得新图是二分图，就要把这 $k$ 个奇环破坏或去掉，也就是把这 $k$ 个奇环的共边中删掉任意一条。

也就是说，假设原图的某条边在所有的奇环上，就可以被删掉。

但还是有个问题，假设有一条边是两个奇环的共边，那么删掉这条边后两个奇环又会组成一个环，那这个环是奇是偶呢？

答案是偶，因为这个环的总点数等于原来两个奇环的点数之和减 $2$ ，为偶数。

那我们就给每条边设一个 $n u m$ ，如果有一个奇环经过这条边，就 $n u m [i] + +$ ，最后看一下这条边的 $n u m$ 是否等于总奇环数就好了。

但这样找边会 $\color{red}{\mathrm{WA}}$ ，为什么？

考虑下图的一种情况：

其中，红色边连着的是一个奇环，蓝色边连着的是一个偶环。

如果按照刚刚的理论，应该这些边都是可以删掉的： $(1, 2)$ 、 $(1, 3)$ 、 $(2, 3)$ 。

可是我们发现，当我们删掉边 $(2, 3)$ 时，新图还是一个奇环（ $1\longrightarrow2\longrightarrow4\longrightarrow5\longrightarrow3\longrightarrow1$ ）。

问题就在于，当一条边既在奇环上（设奇环点数为 $a$ ，则 $a$ 为奇数），又在偶环上时（设偶环点数为 $b$ ，则 $b$ 为偶数），删掉这条边后奇环和偶环会组成一个环，且点数为 $a + b - 2$ ，是个奇环。

所以当一条边既在奇环上又在偶环上时，我们不能选它。

所以我们还要给每条边设一个 $f l a g$ 判断它在不在偶环上。

记得特判没有奇环的情况，这时任意删掉哪条边都可以。

最后代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
 
#define N 4000010
 
using namespace std;
 
int n,m,ans[N];
int cnt,tot,idx,top,head[N],nxt[N],to[N],id[N];
int col[N],num[N],st[N],dfn[N];
bool flag[N],vis[N],use[N];
 
void adde(int u,int v,int ii)
{
    to[++cnt]=v;
    id[cnt]=ii;//id即这条边对应的是输入中的第几条
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt;
}
 
void dfs(int u,int fa)
{
    dfn[u]=++idx;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        if(dfn[to[i]]>dfn[u]||to[i]==fa)
            continue;
        if(col[to[i]]!=-1)//如果已经访问过
        {
            if(col[to[i]]==col[u])//颜色相等即奇环
            {
                tot++;
                num[id[i]]++;
                for(int j=top;j&&to[st[j]]!=to[i];j--)//循环枚举环上的每一个点
                    num[id[st[j]]]++;//记录num
            }
            else
            {//颜色不等即偶环
                for(int j=top;j&&to[st[j]]!=to[i];j--)
                    flag[id[st[j]]]=true;//标记flag
            }
            continue;
        }
        col[to[i]]=col[u]^1;//染色
        st[++top]=i;//丢进stack
        dfs(to[i],u);
        st[top--]=0;//记得弹出来
    }
}
 
void check(int u)
{
    vis[u]=true;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        if(!use[id[i]]&&((!flag[id[i]]&&num[id[i]]==tot)||!tot))//如果这条边还没有记录在答案里（去重），且没有奇环，或者这条边在所有奇环上且不在偶环上
        {
            use[id[i]]=true;
            ans[++ans[0]]=id[i];
        }
        if(!vis[to[i]])
            check(to[i]);
    }
}
 
int main()
{
    memset(col,-1,sizeof(col));//每个点的颜色（初始化）
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        adde(u,v,i),adde(v,u,i);//建边
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(col[i]==-1)
        {
            tot=0;
            col[i]=0;
            dfs(i,-1);
            check(i);
        }
    }
    sort(ans+1,ans+ans[0]+1);
    printf("%d\n",ans[0]);
    for(int i=1;i<=ans[0];i++)
        printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}