7、拍卖模型均衡的数值解

拍卖模型均衡的数值解

在拍卖模型的研究中，均衡解的求解是一个关键问题。当我们不确定解是否存在时，数值解的价值会大打折扣；而当我们确定解存在时，数值解的价值就会大大提升。对于使用首价拍卖数据的实证研究人员来说，解的唯一性至关重要。如果解不唯一，计量经济学家很难证明所观察到的数据都来自同一个均衡。

由于 Lipschitz 条件不成立，Picard - Lindelöf 定理（该定理保证初值问题存在唯一解）的一个充分条件不满足，因此不能将微分方程系统的基本定理应用于某些系统。不过，Lebrun（1999）证明了在所有估值分布具有共同支撑且在 v 处有一个质量点时，逆投标函数在 (v, ¯s] 上可微，并且存在唯一的贝叶斯 - 纳什均衡。他还在没有质量点的情况下，给出了唯一性的充分条件，这些条件相当温和，研究人员很容易验证。Maskin 和 Riley（2000b）也证明了存在性，而 Maskin 和 Riley（2000a）研究了非对称首价拍卖的一些均衡性质。

特殊情况

在某些特殊情况下，系统才有显式解。这里介绍的特殊情况涉及两个从非对称均匀分布中抽取估值的投标者。考虑一个无保留价的首价拍卖，有两个风险中性的投标者。假设投标者 n 从具有支撑 [v, ¯vn] 的均匀分布 Fn(vn) 中独立抽取估值。为方便起见，假设最低可能估值 v 为零，且所有投标者相同，投标者仅在最高可能估值上有所不同。出价最高者赢得拍卖，并支付其出价。

在这种环境下：
- (F_n(v) = \frac{v}{\overline{v}_n})，(n = 1, 2)
- 投标者 n 以出价 sn 赢得拍卖的概率为：(Pr(win|s_n) = \frac{\phi_m(s