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博客园同步默认大家已经会反演。考虑一道题目：求 ∑i=1nμ2(i)\sum_{i=1}^n \mu^2(i)∑i=1n​μ2(i)，其中 n≤1014n \leq 10^{14}n≤1014.没办法操作，考虑感性理解。求的是 1−n1-n1−n 中无平方因子数的个数。对于每个素数 p1p1p1，因删去 ⌊np12⌋\lfloor \frac{n}{p1^2} \rfloor⌊p12n​⌋ 个其平方的倍数。然后这样也会多做。比如形如 p12p22p1^2p2^2p12p22 的数就被重复删了，于

博客园同步原题链接这题有点套路。我一开始的想法是用 fn,if_{n,i}fn,i​ 表示最大幂次最多为 2i2^i2i 表示 nnn 的方案数。然后发现 O(1)\mathcal{O}(1)O(1) 转不了。于是废了。考虑用 fif_ifi​ 表示 iii 的答案数。分类讨论。iii 为奇数时，则必然有 111，剩下 i−1i-1i−1，因此 fi=fi−1f_i = f_{i-1}fi​=fi−1​,iii 为偶数时，则再分类讨论。如果还有 111：同样 fi−1f_{i-1}fi−1​.

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博客园同步原题链接简要题意：略。考虑一个位置的最大不满意度，就是在 ttt 的时间内，有 ⌊tx⌋\lfloor \frac{t}{x} \rfloor⌊xt​⌋ 个选手间隔 xxx 时间开始比赛，于是其不满意度为 ⌊tx⌋\lfloor \frac{t}{x} \rfloor⌊xt​⌋. 不妨设 mid=⌊tx⌋\text{mid} = \lfloor \frac{t}{x} \rfloormid=⌊xt​⌋这个不满意度取不到的时候，你会发现选手数量不够了。因此易得答案的贡献值长这样：mid,m

博客园同步原题链接简要题意：略。数据范围：1≤n,k≤1091 \leq n,k \leq 10^91≤n,k≤109.考虑一个事情。这玩意儿必定满足，上面方阵的集合里有的，下面没有。左边有的，右边没有；也可以都有。问题不大。于是我们可以独立地看待各个元素的情况。对于 ∀ [1,k] \forall \space [1,k] \space∀ [1,k]  的元素，很显然，每个元素，在方阵内，选择一个 “左上方的联通块” 进行覆盖，2n2^n2n 种是不难得

原题链接简要题意：TTT 组数据，每组数据给定一个正整数 nnn，求 所有将 nnn 分解为至少 222 个正整数之和的乘积之和。（拆分顺序不同也算方案不同）例如 n=3n=3n=3 时，3=1+1+1=1+2=2+13 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2+13=1+1+1=1+2=2+1，所以答案为 1×1×1+1×2+2×1=51 \times 1 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 1 = 51×1×1+1×2+2×1=5. 答案对 109+710^9+

洛谷原题链接LOJ\text{LOJ}LOJ 原题链接愉快的三倍经验题。简要题意：给定 n,kn,kn,k，求将 nnn 分为 kkk 个有序正整数之和 的方案数。6≤n≤200,2≤k≤66 \leq n \leq 200 , 2 \leq k \leq 66≤n≤200,2≤k≤6.算法一搜索 + 剪枝。状态设计首先我们应当考虑，如何设计搜索状态。对本问题即以下的问题：如何保证和为 nnn?如何保证共 kkk 个数？如何保证有序？第一问，我们需要一个 sum，记录当前所选

博客园同步原题链接简要题意：给定一个长度为 nnn 的序列 aaa，你需要将其分为若干组，使得每一组的异或之和最小。求这个最小值。实际上这题是个结论题。先考虑一个问题：对于一个数 xxx，唯一的一组 SSS，你会选择 将 xxx 单分一组还是加入 SSS 呢？由于异或的结合律，所以我们可以抽象地假设一手，设 SSS 中所有元素的异或值为 mmm.这个问题就变成了，x+mx+mx+m 和 x⊕mx \oplus mx⊕m，哪个小？再抽象一手，a+ba+ba+b 和 a⊕ba \oplus ba

博客园同步原题链接简要题意：给定一个长度为 nnn 的序列 aaa，求出其中一个子串 SSS，使得 ∣S∣×gcd⁡(x∈S)|S| \times \gcd(x \in S )∣S∣×gcd(x∈S). 求这个最大值。给定一个长度为 nnn 的序列 aaa，求出一个区间 [l,r][l,r][l,r] 使得 (r−l+1)×gcd⁡i=lrai(r-l+1) \times \gcd_{i=l}^r a_i(r−l+1)×gcdi=lr​ai​ 最大.求这个最大值。n≤105,1≤ai≤1012

博客园同步原题链接简要题意：给定 TTT 个数 nnn，判素数。T≤105,n≤1018T \leq 10^5 , n \leq 10^{18}T≤105,n≤1018.可能你判一个都有困难是不是 ⋯⋯\cdots \cdots⋯⋯.二次探测定理若 x2≡1(modp),x<px^2 \equiv 1 \pmod p , x < px2≡1(modp),x<p，则 x=1x= 1x=1 或 x=p−1x = p-1x=p−1.简单证明：x2≡1(modp)x^2 \eq

博客园同步原题链接简要题意：求最小的有 nnn 个因数的数 sss。n≤103n \leq 10^3n≤103 ,保证 s≤1018s \leq 10^{18}s≤1018.考虑质因数分解：s=∏i=1kpiais = \prod_{i=1}^k p_i^{a_i}s=i=1∏k​piai​​pip_ipi​ 为质数。那么 sss 的因数个数就会是∏i=1k(ai+1)\prod_{i=1}^k (a_i + 1)i=1∏k​(ai​+1)考虑最大的 pip_ipi​ 会是几呢？2∗3∗5

博客园同步海伦公式一个边长为 a,b,ca,b,ca,b,c 的三角形，其面积为：p(p−a)(p−b)(p−c)\sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}p(p−a)(p−b)(p−c)​其中 p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2}p=2a+b+c​.高求面积当然要从高入手，如图：其中 DDD 为垂足，hhh 为高。设 BD=xBD = xBD=x，则 DC=a−xDC = a - xDC=a−x.可以得到：{c2=x2+h2b2=(a−x)2+h2\begin{

博客园同步原题链接简要题意：TTT 组询问，给定一个数 nnn，每次你可以将当前的数 ×2\times 2×2 或者 ÷6\div 6÷6，问最少多少次操作可以将其变为 111. 无法变为 111 则输出 −1-1−1.T≤2×104,n≤109T \leq 2 \times 10^4 , n \leq 10^9T≤2×104,n≤109.首先我们考虑，什么时候无解。你会发现，对于一个数 nnn，我们 本质上的操作 只有 ÷3\div3÷3 和 ÷2\div2÷2 两种。因为，×2÷6=÷3\t

博客园同步原题链接简要题意：TTT 组询问，求 ≤n\leq n≤n 的最大的 kkk 使得 k%x=yk\% x = yk%x=y 的 正整数。T≤5×104,x,y,n≤109T \leq 5 \times 10^4 , x,y,n \leq 10^9T≤5×104,x,y,n≤109.这题挺简单的，主要是考察思维能力。一个方法是，先找出 k%x=0k \% x = 0k%x=0 的最大值，再加上 yyy.这个方法的答案是 ⌊nx⌋×x+y\lfloor \frac{n}{x} \rflo

原题链接前置知识：欧拉筛，一些基本数论知识。简要题意：求 ab%ma^b \% mab%m.1≤a≤109,1≤b≤102×107,1≤m≤1081 \leq a \leq 10^9 , 1 \leq b \leq 10^{2 \times 10^7} , 1 \leq m \leq 10^81≤a≤109,1≤b≤102×107,1≤m≤108.首先，看到这个数据范围你就发现你凉凉了。算法一一个简单的弱化：a,b,m≤107a,b,m \leq 10^7a,b,m≤107.显然你

博客园同步原题链接简要题意：给定 n,mn,mn,m，求：∑i=1n∑j=1m(n mod i)×(m mod j),i≠j\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n \space \text{mod} \space i) \times (m \space \text{mod} \space j) , i \not = ji=1∑n​j=1∑m​(n mod i)×(m mod j),i​=jn,m≤

博客园同步整除分块是一个挺简单但是应用极广的算法。听上去挺难，实际不难。实则它是解决这样一类问题：求:∑i=1n⌊ni⌋\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloori=1∑n​⌊in​⌋你可能觉得这个式子无法下手，连个 gcd⁡\gcdgcd 也推不起来。我们下面证明一个结论：在 ⌊n1⌋\lfloor \frac{n}{1} \rfloor⌊1n​⌋，⌊n2⌋⋯⌊nn⌋\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdots \lfloor

博客园同步原题链接一看我感觉是个什么很难的式子……结果读完了才发现本质太简单。算法一完全按照那个题目所说的，真的把质因数分解的结果保留。最后乘。时间复杂度：O(rr)O(r \sqrt{r})O(rr​).实际得分：40pts40pts40pts.（实在想不到比这得分更低的算法了）算法二机智的发现是个因数枚举。然后枚举因数。时间复杂度： O(rr)O(r \sqrt{r})O(rr​).实际得分： 40pts40pts40pts.（只是码量少一点）算法三推式子。fxf_x

博客园同步原题链接我天哪 大大的庆祝一下：数论黑题 T1T1T1 达成！激动地不行记住套路：乱推 gcd⁡\gcdgcd，欧拉筛模板，然后乱换元，乱换式子，完了整除分块，欧拉筛和前缀和就解决了！∑i=1n∑j=1m∑k=1pgcd⁡(i⋅j,i⋅k,j⋅k)×gcd⁡(i,j,k)×(gcd⁡(i,j)gcd⁡(i,k)×gcd⁡(j,k)+gcd⁡(i,k)gcd⁡(i,j)×gcd⁡(j,k)+gcd⁡(j,k)gcd⁡(i,j)×gcd⁡(i,k))\sum_{i=1}^n\sum_{j=

博客园同步原题链接简要题意：给定一个 111 ~ nnn 的置换，将数组分为 kkk 个区间，使得每个区间的最大值之和最大。求这个值，和分区的方案数。关键在于 111 ~ nnn 的置换。显然，你只要把从 n−k+1n - k + 1n−k+1 到 nnn 这一段，每个区间分一个（其余的随便分）。显然可以得出第一个答案：(n−k+1)+(n−k+1)+⋯+(n−1)+n(n-k+1) + (n-k+1) + \cdots + (n-1) + n(n−k+1)+(n−k+1)+⋯+(n−1)+n

博客园同步原题链接简要题意：你可以无限次的把该数组的一个前缀和后缀 ×−1\times -1×−1，问最终的最大序列和。这题盲目WA了数次才知道本质这题89个数据吊打stdCF真好啊，发现一个错后面就不测了下面，就以我艰辛的思维历程来构造本篇博客。算法一盲猜：所有数都可以变成正数。然后绝对值相加。连样例也没测。然后，289pts\frac{2}{89} pts892​pts. 只过了前两个样例，第三个就死了。#pragma GCC optimize(2)#include<b

博客园同步原题链接注：本题与 UVA11401 Triangle counting 一模一样。因此题解大致相似。UVA也有原题？简要题意：若干组数据，每组数据给出一个 nnn ，求出 三边均 ≤n\leq n≤n 且互不相等 的三角形个数。两个三角形不同当且仅当至少有一边长度不同。首先我们应当考虑三角形的性质。设三边为 x,y,zx,y,zx,y,z 且 x>y>zx>y>zx>y>z.则：x<y+zx < y+zx<y+z可以得到 y

博客园同步原题链接注：优快云\text{优快云}优快云 博客标题不支持 ' 符号。原题目名为 Jimmy's Balls. 致歉。简要题意：已知 互不相等 三个数和为 nnn，求方案数。显然，设这个三个数为 a>b>ca>b>ca>b>c.此时，我们可以枚举 aaa. 此时如何确定 bbb 的范围？max⁡(b)=min⁡(a−1,n−a−1)\max(b) = \min(a-1 , n-a-1)max(b)=min(a−1,n−a−1)显然，n−a

原题链接简要题意：若干组数据，每组数据给出一个 nnn ，求出 三边均 ≤n\leq n≤n 且互不相等 的三角形个数。两个三角形不同当且仅当至少有一边长度不同。首先我们应当考虑三角形的性质。设三边为 x,y,zx,y,zx,y,z 且 x>y>zx>y>zx>y>z.则：x<y+zx < y+zx<y+z可以得到 yyy 的范围：x−z<y<xx-z < y < xx−z<y<x假设 fxf_xfx​

博客园同步原题链接简要题意：给定一个固定的 kkk，TTT 组询问求：∑i=1n∑j=1mgcd⁡(i,j)k\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \gcd(i,j)^ki=1∑n​j=1∑m​gcd(i,j)k其中 n,m,k≤5×106n,m,k \leq 5 \times 10^6n,m,k≤5×106，T≤2×103T \leq 2 \times 10^3T≤2×103.没什么好说的，没有部分分。根据 莫比乌斯反演性质 开始推式子！∑i=1n∑j=1mgcd⁡(i,j)k

博客园同步原题链接前置知识：本题的弱化版不难发现，原来的：∑i=1n∑j=1nlcm⁡(i,j)\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{lcm}(i,j)i=1∑n​j=1∑n​lcm(i,j)变成了：∑i=1n∑j=1nlcm⁡(ai,aj)\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{lcm}(a_i , ...

原题链接简要题意：给定一个数列 a1,a2⋯an−1a_1 , a_2 \cdots a_{n-1}a1​,a2​⋯an−1​，求 任意一个满足以下条件的长度为 nnn 的质数数列 ans\text{ans}ans：ansi×ansi+1=ai\text{ans}_i \times \text{ans}_{i+1} = a_iansi​×ansi+1​=ai​本题是某洛谷公开赛 T1T1T...

博客园同步Case 1. 定义韦达定理即：在方程：ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c \in R , a \not = 0)ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a​=0)中，两根 x1,x2x_1 , x_2x1​,x2​ 存在关系：x1+x2=−ba,x1×x2=cax_1 + x_2 = - \frac{b}{a} ...

博客园同步首先声明：下文中所有的类似”因数“”整数“等的字眼，除特别说明，全部是对于正数而言，不包括负数或者是000。Case 1. 欧拉定理欧拉定理即：对于 ppp 为素数，aaa 为任意正整数，存在aφp≡1(modp)a^{\varphi_p} \equiv 1 \pmod paφp​≡1(modp)其中 gcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1.说明：...

博客园同步原题链接前置知识：矩阵乘法、斐波那契数列的矩阵公式。题意简要：用 FiF_iFi​ 表示斐波那契数列的第 iii 项，求：gcd⁡(Fn,Fm)\gcd(F_n,F_m)gcd(Fn​,Fm​)我们先考虑 n>mn > mn>m .首先我们考虑 gcd⁡\gcdgcd 的两个性质，后面要用：gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b,a−b)=gcd⁡(a−k⋅...

博客园同步原题链接简要题意：求 ∏i=1n∏j=1ij\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^i j∏i=1n​∏j=1i​j 的末尾有几个零。显然，我们对原式进行修改：∏i=1n∏j=1ij\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^i ji=1∏n​j=1∏i​j=∏j=1nj⋅(n−j+1)=\prod_{j=1}^n j \cdot (n-j+1)=j=1∏...

博客园同步原题链接简要题意：求∑i=1n∑j=1mlcm⁡(i,j)\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \operatorname{lcm}(i,j)i=1∑n​j=1∑m​lcm(i,j)一言不合就推式子。∑i=1n∑j=1mlcm⁡(i,j)\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \operatorname{lcm}(i,j)i=1∑n​j=1∑m​lc...

博客园同步原题链接简要题意：求∑i=ab∑j=cd[gcd⁡(i,j)==k]\sum_{i=a}^b \sum_{j=c}^d [\gcd(i,j)==k]i=a∑b​j=c∑d​[gcd(i,j)==k]共 TTT 组询问.本题没有部分分，直接考虑一个式子：∑i=1a∑j=1b[gcd⁡(i,j)==k]\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(i,j)==...

原题链接简要题意：求∑i=1A∑j=1B∑k=1Cd(ijk)\sum_{i=1}^A \sum_{j=1}^B \sum_{k=1}^C d(ijk)i=1∑A​j=1∑B​k=1∑C​d(ijk)其中 d(x)d(x)d(x) 表示 xxx 的因数个数。一言不合就推式子！∑i=1A∑j=1B∑k=1Cd(ijk)\sum_{i=1}^A \sum_{j=1}^B \sum_{k=1...

博客园同步原题链接简要题意：求∑i=1n∑j=1md(ij)\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d(ij)i=1∑n​j=1∑m​d(ij)其中，d(x)d(x)d(x) 表示 xxx 的因数个数。算法一爆搜。时间复杂度：O(Tnmnm)O(Tnm \sqrt{nm})O(Tnmnm​).（TTT 的飞起）期望得分：0pt0pt0pt.算法二考虑每个数作为其它...

博客园同步原题链接前置知识：整除分块线性筛模板算法一对于 30%30 \%30% 的数据，n≤3×103n \leq 3 \times 10^3n≤3×103.直接模拟就好了。时间复杂度：O(n2log⁡n)O(n^2 \log n)O(n2logn). 实际得分：30pts30pts30pts.for(i from 1 to n)for(j from 1 to n) s...

博客园同步原题链接简要题意：给定 nnn 个数 aia_iai​，求 ∑l=1n∑r=ln(fl,r)2\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n (f_{l,r})^2∑l=1n​∑r=ln​(fl,r​)2，fl,rf_{l,r}fl,r​ 为 al,al+1⋯ara_l , a_{l+1} \cdots a_ral​,al+1​⋯ar​ 中 不重复数 的个数。NOI&nbsp...

原题链接简要题意：求在 nnn 个数中选 kkk 个数使其 gcd⁡\gcdgcd 分别为 111 ~ mmm 的个数。m=max⁡i=1naim = \max_{i=1}^n a_im=maxi=1n​ai​.这是某洛谷月赛的 T2\text{T2}T2，有一定思维难度。子任务 111子任务 111 ：n≤10n \leq 10n≤10，m≤106m \leq 10^6m≤106，k...

原题链接简要题意：给定 nnn 个点的权值 xix_ixi​，求 u≠vu \not = vu​=v 且 xu xor xvx_u \space \text{xor} \space x_vxu​ xor xv​ 有奇数个 111 的个数。算法一对于前 60%60 \%60% 的数据，n≤1000n \leq 1000n≤1000.很简单啊，...

原题链接简要题意：给定一个 111 ~ nnn 的排列，求以 bbb 为中位数的 连续子序列且长度为奇数 的个数。显然这段序列包含 bbb.中位数的定义：排序后在最中间的数。算法一对于 30%30 \%30% 的数据，n≤100n \leq 100n≤100.由于这段序列一定包含 bbb，那么我们可以枚举区间 [i,j][i,j][i,j] 包含 bbb（有类似于双指针），然后单...