P3911 最小公倍数之和 题解

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原题链接

前置知识：

本题的弱化版

不难发现，原来的：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mathrm{lcm}(i,j)$$

变成了：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mathrm{lcm}(a_i,a_j)$$

一言不合就开始推式子。

考虑用 $c_i$ 表示 $i$ 出现的次数，然后：

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n lcm ⁡ ( a i , a j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n lcm ⁡ ( i , j ) × c i × c j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n i × j × c i × c j gcd ⁡ ( i , j ) = ∑ d = 1 n ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ n d ⌋ [ gcd ⁡ ( i , j ) = 1 ] d × i × j × c i d × c j d = ∑ d = 1 n ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ k ∣ gcd ⁡ ( i , j ) μ ( k ) × d × i × j × c i d × c j d =