博客探讨了如何使用Johnson算法解决图中可能存在负环、负权、重边和自环情况下的任意两点最短路径问题。通过算法一的Floyd、算法二的Dijkstra优化以及算法三的详细解释，阐述了Johnson算法的原理和步骤，包括构造上帝节点、调整边权和SPFA与Dijkstra的结合应用。
前置知识：
dijkstra \text{dijkstra} dijkstra 模板
简要题意：
求任意两点的最短路。图中可能有 负环，负权，重边，自环 等现象。
显然我们先建图。
算法一
对于 20 % 20\% 20% 的数据， 1 ≤ n ≤ 100 1\leq n \leq 100 1≤n≤100，不存在负环（可用于验证 Floyd \text{Floyd} Floyd 正确性）
嗯，出题人都告诉你用 Floyd \text{Floyd} Floyd 了，而且 Floyd \text{Floyd} Floyd 的代码简洁得出奇，所以这 20 p t s 20pts 20pts 完全是送给你啦！
时间复杂度： O ( n 3 ) O(n^3) O(n3).
实际得分： 20 p t s 20pts 20pts.
算法二
对于另外 20 % 20\% 20% 的数据， w ≥ 0 w \geq 0 w≥0（可用于验证 Dijkstra \text{Dijkstra} Dijkstra 正确性）
出题人真善良，算法都告诉你了。
Dijkstra \text{Dijkstra} Dijkstra 跑 n n n 次，然后队列优化（不优化肯定连部分分都拿不到了）
时间复杂度： O ( n m log n ) O(nm \log n) O(nmlogn).
实际得分： 40 p t s 40pts 40pts.（结合前面的 Floyd \text{Floyd} Floyd）
算法三
我们基于 Dijkstra \text{Dijkstra} Dijkstra 的思路思考，因为这个思路不会超时，我们需要想一个办法解决 负环 问题。
可以想到的一种办法，把所有边权加上一个值使得不存在负权，然后再减回去。但是 理想是美好的，现实是残酷的 这样贪心完全错了。
比方说：
你先把每条边 + 3 +3 +3 变成：
求出最短路为 0 0 0. 然而正确的答案是 − 4 -4 −4，你怎么减也减不出这个值。其错误在于，假设走了多条边的最短路与另一条走了较少边的次短路，加上值之后最短路就不一定还是最短路了。
这样要是能解决我们还要 Johnson \text{Johnson} Johnson 干么
他提出了一种思想，解决这种问题：
-
构造一个“上帝节点” 0 0 0 号，并且建边 ( 0 , i , 0 ) ( 1 ≤ i ≤ n ) (0,i,0) (1 \leq i \leq n) (0,i,0)(1≤i≤n).（即向每个点建一条权值为 0 0 0 的边）
-
用 SPFA \text{SPFA} SPFA 一遍求出 h i h_i hi 表示 0 0 0 号节点到 i i i 号节点的最短路（顺便可以判负环）。
-
此时如果有一条 u → v u \rightarrow v u
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