Rayment的博客

Problem在二维平面中，有很多半径均为RRR的圆，其中yyy轴负方向为重力方向。它们在000时刻圆心坐标为(xi,yi)(x_i,y_i)(xi​,yi​)，且速度矢量为v⃗i=(vxi,vyi)\vec v_i=(v_{xi},v_{yi})vi​=(vxi​,vyi​)，做斜抛运动。问在给定时间区间[0,E][0,E][0,E]内，一条直线最多能同时穿过多少个圆？n≤100;R,E≤1000n\leq 100;R,E\leq 1000n≤100;R,E≤1000Solution可以证明必

ProblemPOJSolution由于有染色限制，那我们不方便直接用polya计数。不妨先从最朴素的DP考虑起，设f[i][j]表示染了前i个珠子，且第i个珠子的颜色为j的方案数，由于是环形的，你需要dp到n+1。为了避免重复计算，我们套用一下Burnside引理。不妨称旋转i个的置换称为置换i。考虑在置换i下，循环节数为gcd(n,i)gcd(n,i)gcd(n,i)，那么我们...

置换基本概念置换是相对与群(当然我们讨论的是有限群= =)而言的一种操作。通常我们这样来表示(1a12a23a3⋯⋯nan)(123⋯na1a2a3⋯an)\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{matrix}\right)它的意义是对于新的排...

ProblemHDUSolution鉴于Rayment的期望dp实在是太差了，他只好写一些套路的水题了……什么叫期望的逆推呢。。？那就是对于现在的状态S，我们去考虑它的所有后继状态T1,T2⋯TmT1,T2⋯Tm{T_1,T_2\cdots T_m}，且各个后继发生的概率是p1,p2⋯pmp1,p2⋯pmp_1,p_2\cdots p_m和它们分别的转移代价c1,c2⋯cmc1...

ProblemPOJ 正面的概率为p，掷k次正面就停止，求期望掷多少次。Solution设f[i]表示掷i次的期望f[i]=1+p∗f[i+1]+(1−p)f[i]f[i]=1+p∗f[i+1]+(1−p)f[i]f[i]=1+p*f[i+1]+(1-p)f[i]f[i]=1p+f[i+1]f[i]=1p+f[i+1]f[i]=\frac 1 p+f[i+1]f[k]=0...

容斥+dp是啥？能吃吗？

Problem51nodSolution每次遇到这种神仙题，总有人告诉我这是出了很多遍套路题……Orz知乎大佬：https://www.zhihu.com/question/61218881/answer/185333391通过min-max容斥我们可以知道：lcm(fS)=∏T⊆Sgcd⁡(fT)(−1)∣T∣−1=∏T⊆Sfgcd⁡(fT)(−1)∣T∣−1lcm(f_S)=\pr...

第一类在此仅讨论无符号第一类Stiring数。定义n个有标号的球组成m个圆排列的方案数，即第一类斯特林数，记做S1(n,m)S_1(n,m)S1​(n,m)，亦记做[nm]\begin{bmatrix}n\\ m\end{bmatrix}[nm​]。递推式考虑最后一个元素，可以新组成一个圆排列，也可以插入之前n−1n-1n−1个元素的任意一个之后，不难得到其递推式为S1(n,m)=S1...

这是一篇翻译向的文章，笔者整理了一些有关Berlekamp–Massey算法的笔记，还增加了一些自己的理解。下面列出了笔者写此文时所参考的一些资料：wikipediafjzzq2002别人的博客线性递推式对于一个数列{Si}\{S_i\}{Si​}，它的mmm阶递推式{Λi}\{\Lambda_i\}{Λi​}应该始终满足Λ1Si+m−1+⋯+Λm−1Si+1+ΛmSi−Si+m...

ProblemBZOJSolution本来想写完DZY loves Math系列再统一发题解的，然后我就被第二题劝退了，所以就只能把这个计划暂时鸽搁下来了。∑i=1n∑j=1mf(gcd⁡(a,b))\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(\gcd(a,b))i=1∑n​j=1∑m​f(gcd(a,b))∑d=1nf(d)∑i=1n∑j=1m[gcd⁡(i,j)=d]\su...

Problem洛谷求∑i=1n∑j=1nijgcd⁡(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij\gcd(i,j)i=1∑n​j=1∑n​ijgcd(i,j)Solution为了方便表达，下文中约定S1(n)=1+2+⋯+nS_1(n)=1+2+\cdots+nS1​(n)=1+2+⋯+n(1)∑d=1nd∑i=1n∑j=1nij[gcd⁡(i,j)=d]\sum_...

做这两道题做得心力交瘁，太恶心了，好久没做数学题，套路差点都全忘光了，推式子的时候犯了一堆错：没有注意是否仍然满足乘法分配率模数看错ProblemBZOJ2154求∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)i=1∑n​j=1∑m​lcm(i,j)Solution变一下原式∑i=1n∑j=1mijgcd⁡(i,j)\su...

ProblemUOJ给定 n,pn,pn,p ， f(x)f(x)f(x)是一个 mmm 阶函数，求(1)Q(f)=∑k=0nf(k)(nk)pk(1−p)n−kQ(f)=\sum_{k=0}^n f(k)\binom n k p^k (1-p)^{n-k}\tag1Q(f)=k=0∑n​f(k)(kn​)pk(1−p)n−k(1)Solution首先(n−m)=0\binom {n} ...

ProblemBZOJSolution据说当场10+的人数很少，虽然是道好题，但是不是毒瘤过头了啊QAQ恰好面积为 kkk 并不好处理，不妨求面积小于等于 kkk，则最后答案为 P(k)−P(k−1)P(k)-P(k-1)P(k)−P(k−1)。为了方便描述，我们约定从最下方的行开始编号为第1行，qqq 表示块安全的概率。考虑第1行，由于面积都要小于等于 kkk，则第一行不会连续出现 ...

前言其实我是不打算学 Bluestein\text{Bluestein}Bluestein 的，第一次听说这个算法还是在今年省选后，HNOI2019D2T2考了，然后就比较悲剧。刚好 Dra 在啃论文，跟着一块将近啃了一个下午，大概是看懂了，于是就有了这篇文章。

原问题给定一个数列前k项，并给出其k阶递推关系hn=∑ki=1aihn−ihn=∑i=1kaihn−ih_n=\sum_{i=1}^k a_ih_{n-i}，求hnhnh_n。矩阵快速幂大家都会矩阵快速幂的方法。构造一个转移矩阵AAAA=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢a110⋮0a201⋮0a300⋮0⋯⋯⋯⋱1ak00⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥A=[a1a2a3⋯ak100⋯0010⋯0⋮⋮...

ProblemBZOJThoughtsFBI warning:Thoughts是错的，正解是下面的Solution 一开始看比较懵逼，然后就开始了大力推公式第一次迭代ϕ(∏i=1mpqii)=∏i=1m(pi−1)pqi−1iϕ(∏i=1mpiqi)=∏i=1m(pi−1)piqi−1\phi\biggl(\prod_{i=1}^mp_i^{q_i}\biggr)=\pr...

转载注： 转载自PinkRabbit的博客园 原文地址 以下是转载内容：题目传送门：链接。能自己推出正确的式子的感觉真的很好！题意简述：求∑ni=1gcd(i,n)∑i=1ngcd(i,n)\sum_{i=1}^n gcd(i,n)。n≤232n≤232n≤2^{32}。题解：我们开始化简式子：∑ni=1gcd(i,n)∑i=1ngcd(i,n)\sum_{i=1...

ProblemBZOJ链接 洛谷链接Solution介绍一下扩展欧拉定理吧。 ab≡abmodϕ(p)+ϕ(p)ab≡abmodϕ(p)+ϕ(p)a^b≡a^{b\bmod \phi(p)+\phi(p)} 这个就可以解决b与p可能不互质的问题。 递归函数：int solve(int p){ if(p==1) return 0; reutrn po...

Problem三倍经验题！惊喜不惊喜？ BZOJ 洛谷 Codevs ←欲知为何WA请戳这个！！！Solution我想大家一定都会O(nm)O(nm)O(nm)的做法吧，就是暴力扫整个地图？？ 那只需要做一个简单的离散化就可以把复杂度优化到O(w2)O(w2)O(w^2)。 然而可能你可能会发现你还是只拿了暴力分设第i个点上方、下方、左方、右方的常青树个数为...

ProblemBZOJ请戳我Solution∑i=1n∑j=1,i≠jm(nmodi)(mmodj)=∑i=1n(nmodi)∗∑j=1m(mmodj)−∑i=1min(n,m)(nmodi)(mmodi)=∑i=1n(nmodi)∗∑j=1m(mmodj)−∑I=1min(n,m)(n−⌊ni⌋i)(m−⌊mi⌋i)=∑i=1n(nmodi)∗∑j=1m(mmodj)−∑I=1m...

ProblemBZOJ 洛谷预备知识这里介绍一下扩展Lukas定理……当然 可以在p不是质数时计算CmnmodpCnmmodpC_n^m\bmod p首先将p分解质因数。不妨令： p=∏i=1rpeiip=∏i=1rpieip=\prod_{i=1}^rp_i^{e_i} 每个paiipiaip_i^{a_i}单独计算，解出相应的xi，则有一组形似ansmodpeii=...

ProblemHDU链接一句话题意给定f，求g，我们定义 g(i)=∑i1|i∑i2|i1∑i3|i2…∑ik|ik−1f(ik)mod1000000007g(i)=∑i1|i∑i2|i1∑i3|i2…∑ik|ik−1f(ik)mod1000000007g(i)=\sum_{i_1|i}\sum_{i_2|i_1}\sum_{i_3|i_2}…\sum_{i_k|i_{k-1}}f(...

原文地址<1>预备算法ll mul(ll a,ll b,ll p){ ll rn=0,i; for(i=1; i<=b; i<<=1,a=(a+a)%p) if(b&i) rn=(rn+a)%p; return rn;}//计算模意义下两大数乘积ll ksm(ll a,ll b,ll p){ ...

ProblemBZOJ传送门 洛谷传送门 Codevs传送门Solution对于第一种操作，快速幂即可。 对于第二种操作，等式两边同乘在模p意义下的y的逆元inv(y)，则等式变为x≡(z×inv(y))%p (mod p)。 对于第三种操作，用BSGS。BSGS利用了分块的思想，首先我们由费马小定理知道yp−1≡1(modp)yp−1≡1(modp)y^{p-1}\e...

1 素数最初当然是最基本的用来筛素数啦，break保证每个数只被最小的因子筛掉。其他的筛法根据定义来就好了。void init(){ for(int i=2;i<=maxn;i++) { if(!vis[i]) pri[++pri[0]]=i; for(int j=1;j<=pri[0]&&i...

无空插板给你n个球和m个桶，要求你将这n个球全部放入m个桶中，不允许出现空桶。问你有多少种放的方法。就相当于，把这n个球列出来，然后在这n个球之间的n-1个空中，插入m-1个板子。如此下来就可以把这n个球分成m份。因此，我们可以知道答案应该为Cm−1n−1Cn−1m−1C_{n-1}^{m-1}。有空插板如果我们允许出现空桶呢。考虑一下，我们会发现在出现空桶时，就会有两个板子放...

ProblemBZOJSolution我们考虑每天的增幅对答案的贡献。不妨设其为数列a[1..k−1],a[i]∈[1,m]a[1..k−1],a[i]∈[1,m]a[1..k-1],a[i]\in [1,m]因为第一天的初值可以在[1,n−∑k−1i=1a[i]][1,n−∑i=1k−1a[i]][1,n-\sum_{i=1}^{k-1} a[i]]中平移，则其对答案的贡献为...

ProblemBZOJSolution做这道题，你需要一个前置技能，matrix tree定理最初的想法是直接用边存在的概率构造矩阵，即D为期望度数矩阵，A为期望邻接矩阵 看起来很有道理结果发现连样例都过不了 这个时候的答案应该是期望状态下的生成树个数，由于权值为1，就相当于概率，即是∑T∈G∏e∈Tpe∑T∈G∏e∈Tpe\sum_{T\in G}\prod_{e\in T}...

参考文章ruanxingzhi引入对于一些递推式，我们常常会有关于求数列某一项的问题，如果我们能推出其通项公式，那么问题就会变得更好解决，特征方程就是一个有力的工具。相关定义及引理我们定义对于数列fnfnf_n递推关系fn=w0+∑ki=1wi∗fn−k+i−1(n>k)fn=w0+∑i=1kwi∗fn−k+i−1(n>k)f_n=w_0+\sum_{i=1}^kw...

网上对于NTT和原根的学习笔记好像不多，就写写学习笔记咯……原根在模p意义下，满足∀i∈[1,p−1]gi(modp)∀i∈[1,p−1]gi(modp)\forall_{i\in[1,p-1]} g^i(\bmod p)任意两两不相同的最小正整数g为p的原根。对p进行质因数分解p=∏ri=1prikiip=∏i=1rpriikip=\prod_{i=1}^r pri_i^{k_i}，...

同余及相关定理