矩阵快速幂的多项式取模优化

本文详细介绍了利用矩阵快速幂解决数列递推问题,并通过多项式取模进一步优化时间复杂度,适用于处理大规模数值计算。文章探讨了矩阵特征值、特征多项式、Cayley-Hamilton定理等数学概念,以及多项式乘法和取模的高效算法。

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原问题

给定一个数列前k项,并给出其k阶递推关系 h n = ∑ i = 1 k a i h n − i h_n=\sum_{i=1}^k a_ih_{n-i} hn=i=1kaihni,求 h n h_n hn

矩阵快速幂

大家都会矩阵快速幂的方法。

构造一个转移矩阵 A A A

A = [ a 1 a 2 a 3 ⋯ a k 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 ] A=\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 &\cdots & a_k\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] A=a1100a2010a3000ak000

用前k项构造初始矩阵,也是一个k维向量 H 1 H_1 H1

H 1 = ( h k h k − 1 h k − 2 ⋮ h 1 ) H_1=\left( \begin{matrix} h_k\\ h_{k-1}\\ h_{k-2}\\ \vdots \\ h_1 \end{matrix} \right) H1=hkhk1hk2h1

即可得 A n − 1 H 1 = H n A^{n-1}H_1=H_n An1H1=Hn

时间复杂度 O ( k 3 log ⁡ n ) O(k^3\log n) O(k3logn)

k如果比较大怎么办?我会卡常,jki玄学卡常,wys优化

多项式取模优化

前置知识

1.矩阵的特征值

对于矩阵 A A A和一个n维向量 x x x,如果有一个值 λ \lambda λ满足 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx,则我们称 λ \lambda λ为矩阵 A A A的特征值。

2.矩阵的特征多项式

简单的缩好像就是特征方程再移项?

我们把之前的那个方程移项得 ( A − λ E ) x = 0 (A-\lambda E)x=0 (AλE)x=0,显然若x有非零解,那么需要满足

∣ A − λ E ∣ = ∣ a 11 − λ a 12 a 13 ⋯ a 1 k a 21 a 22 − λ a 23 ⋯ a 2 k a 31 a 32 a 33 − λ ⋯ a 3 k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a k 1 a k 2 a k 3 ⋯ a k k − λ ∣ = 0 |A-\lambda E|= \left| \begin{matrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} & \cdots & a_{2k}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda & \cdots & a_{3k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k1} & a_{k2} & a_{k3} & \cdots & a_{kk}-\lambda \end{matrix} \right| =0 AλE=a11λa21a31ak1a12a22λa32ak2a13a23a33λak3a1ka2ka3kakkλ=0

这其实是一个一元k阶方程,即特征方程。我们记 f A ( x ) = ∣ A − x E ∣ f_A(x)=|A-xE| fA(x)=AxE,称矩阵A的特征多项式

3.Cayley-Hamilton定理

f A ( A ) = 0 f_A(A)=0 fA(A)=0。具体的证明可以看wikipedia,因为我也不会

~~为了方便记忆,~~有一个著名的伪证: f A ( A ) = ∣ A − A E ∣ = 0 f_A(A)=|A-AE|=0 fA(A)=AAE=0

4.拉普拉斯展开

对于行列式A,我们定义它的关于第i行第j列的余子式 M i j M_{ij} Mij为原行列式删除第i行和第j列之后剩下的k-1阶行列式。

拉普拉斯展开是一个有关行列式的值的等式,按第i行展开得到如下等式

∣ A ∣ = ∑ j = 1 k ( − 1 ) j − 1 a i j ∣ M i j ∣ |A|=\sum_{j=1}^k(-1)^{j-1}a_{ij}|M_{ij}| A=j=1k(1)j1aijMij

类似的,我们也可以对第j列展开

∣ A ∣ = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i a i j ∣ M i j ∣ |A|=\sum_{i=1}^k(-1)^ia_{ij}|M_{ij}| A=i=1k(1)iaijMij

5.多项式取模

f ( x ) = g ( x ) p ( x ) + r ( x ) f(x)=g(x)p(x)+r(x) f(x)=g(x)p(x)+r(x)

它们满足 d e g ( r ) &lt; d e g ( g ) &lt; d e g ( f ) deg(r)&lt;deg(g)&lt;deg(f) deg(r)<deg(g)<deg(f)

优化

我们知道如果给矩阵的某一行全部元素全部变为相反数,那么矩阵的行列式也会变成相反数,那么我们可以做这样一个操作,并记作 g g g

g ( x ) = ( − 1 ) k f A ( x ) = ∣ x − a 1 − a 2 − a 3 ⋯ − a k − 1 x 0 ⋯ 0 0 − 1 x ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ x ∣ g(x)=(-1)^kf_A(x)=\left| \begin{matrix} x-a_1 &amp; -a_2 &amp; -a_3 &amp;\cdots &amp; -a_k\\ -1 &amp; x &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0\\ 0 &amp; -1 &amp; x &amp; \cdots &amp; 0 \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots\\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; x \end{matrix} \right| g(x)=(1)kfA(x)=xa1100a2x10a30x0ak00x

为了求 g ( x ) g(x) g(x)的表达式,我们可以按照第一行对其进行拉普拉斯展开:

g ( x ) = x k − ∑ i = 1 k a i x k − i g(x)=x^k-\sum_{i=1}^k a_ix^{k-i} g(x)=xki=1kaixki

由于我们要求的东西就是 A n A^n An,那不妨构造一个这样的式子:

x n = g ( x ) p ( x ) + r ( x ) x^n=g(x)p(x)+r(x) xn=g(x)p(x)+r(x)

x = A x=A x=A则有 A n = g ( A ) p ( A ) + r ( A ) A^n=g(A)p(A)+r(A) An=g(A)p(A)+r(A)

由之前的Cayley-Hamilton定理我们知道 g ( A ) = ( − 1 ) k f A ( A ) = 0 g(A)=(-1)^kf_A(A)=0 g(A)=(1)kfA(A)=0。那么我们就得到了 A n = r ( A ) A^n=r(A) An=r(A),而 d e g ( r ) &lt; k deg(r)&lt;k deg(r)<k。为了方便,我们不妨看作 d e g ( r ) = k − 1 deg(r)=k-1 deg(r)=k1

那么我们怎么求 r ( A ) r(A) r(A)呢?原来的取模板子显然不可取,因为n可能很大,数组都开不下。考虑用倍增,即

x 2 &VeryThinSpace; m o d &VeryThinSpace; g ( x ) = ( x 1 &VeryThinSpace; m o d &VeryThinSpace; g ( x ) ) 2 &VeryThinSpace; m o d &VeryThinSpace; g ( x ) , x 4 &VeryThinSpace; m o d &VeryThinSpace; g ( x ) = ( x 2 &VeryThinSpace; m o d &VeryThinSpace; g ( x ) ) 2 &VeryThinSpace; m o d &VeryThinSpace; g ( x ) x^2\bmod g(x)=(x^1\bmod g(x))^2\bmod g(x),x^4\bmod g(x)=(x^2\bmod g(x))^2\bmod g(x) x2modg(x)=(x1modg(x))2modg(x),x4modg(x)=(x2modg(x))2modg(x)

考虑用快速幂实现,这需要做两个操作:

  • 1.多项式乘法
    • 暴力 O ( k 2 ) O(k^2) O(k2)
    • FFT O ( k log ⁡ k ) O(k\log k) O(klogk)
  • 2.多项式取模
    • 暴力 O ( k 2 ) O(k^2) O(k2),跳过中间的零项 O ( k t ) O(kt) O(kt)
    • FFT O ( k log ⁡ k ) O(k\log k) O(klogk),限制多,有时用不了?

你问我怎么暴力取模?当然是模拟大除法啊

至此,我们已经得到了 A n = ∑ i = 0 k − 1 r i A i A^n=\sum_{i=0}^{k-1} r_iA^i An=i=0k1riAi,再在两边乘上初始矩阵 H 1 H_1 H1即得

H n + 1 = ∑ i = 0 k − 1 r i H i + 1 H_{n+1}=\sum_{i=0}^{k-1} r_iH_{i+1} Hn+1=i=0k1riHi+1

由于 H H H是一个n维向量,而且中间涉及到的数乘及加法的运算,对于每一行是独立的,直接把第k行上的运算提出来就得到

h n + 1 = ∑ i = 0 k − 1 r i h i + 1 h_{n+1}=\sum_{i=0}^{k-1}r_ih_{i+1} hn+1=i=0k1rihi+1

时间复杂度常数较大的 O ( k 2 log ⁡ n ) O(k^2\log n) O(k2logn),或者常数更大的 O ( k log ⁡ k log ⁡ n ) O(k\log k\log n) O(klogklogn),fft的话要注意精度问题,mod较大就可能有问题。

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<think>我们正在讨论幂运算(Modular Exponentiation),这是一种在密码学(尤其是RSA算法)中至关重要的运算。幂运算指的是计算形如 \( a^b \mod m \) 的表达式,其中 \( a \) 是底数,\( b \) 是指数, \( m \) 是数。其核心挑战在于当 \( a, b, m \) 非常大时(例如在RSA中,\( b \) 可能是一个2048位的整数),直接计算 \( a^b \) 再是不可行的,因为 \( a^b \) 会超出计算机的整数表示范围。因此,我们需要高效的算法。 ### 一、幂运算的数学原理 幂运算基于以下运算的性质: 1. **乘法性质**: \( (a \times b) \mod m = [(a \mod m) \times (b \mod m)] \mod m \) 2. **幂运算性质**: \( a^b \mod m \) 可以通过将指数 \( b \) 分解为二进制形式,然后利用平方和乘法逐步计算。 ### 二、快速幂算法(平方乘算法) 快速幂算法(也称为平方乘算法)将指数 \( b \) 表示为二进制形式,例如 \( b = (b_k b_{k-1} \dots b_1 b_0)_2 \),其中 \( b_i \) 是二进制位(0或1)。那么: \[ a^b = a^{\sum_{i=0}^{k} b_i \cdot 2^i} = \prod_{i=0}^{k} \left( a^{2^i} \right)^{b_i} \] 因此,我们可以通过迭代的方式计算: - 从结果 \( res = 1 \) 开始。 - 遍历指数 \( b \) 的每一个二进制位(从最低位到最高位): - 如果当前位为1,则将结果乘以当前的底数 \( a \) 并 \( m \)。 - 然后将底数平方并 \( m \)(因为 \( a^{2^{i+1}} = (a^{2^i})^2 \))。 - 指数右移一位(相当于除以2)。 **算法步骤**: 1. 初始化结果 \( res = 1 \)。 2. 将底数 \( a \) 对 \( m \) (减少计算量)。 3. 当指数 \( b > 0 \) 时循环: - 如果 \( b \) 是奇数(即最低位为1),则 \( res = (res \times a) \mod m \)。 - 将 \( a \) 平方: \( a = (a \times a) \mod m \)。 - 将 \( b \) 右移一位(即 \( b = b // 2 \))。 4. 返回 \( res \)。 **时间复杂度**:由于指数 \( b \) 的二进制位数是 \( \log_2 b \),所以循环执行 \( O(\log b) \) 次,每次执行常数次乘法和运算。因此,总时间复杂度为 \( O(\log b) \),这对于大指数非常高效。 ### 三、幂运算在密码学中的应用 在RSA加密和解密过程中,核心操作就是幂运算: - **加密**: \( c = m^e \mod n \) - **解密**: \( m = c^d \mod n \) 其中 \( e \) 和 \( d \) 都是非常大的数(通常1024位以上),因此必须使用快速幂算法。 此外,幂运算的逆问题(即已知 \( a, m \) 和 \( a^b \mod m \),求 \( b \))称为**离散对数问题**,目前没有已知的多项式时间算法求解(在经典计算机上),这构成了公钥密码学(如Diffie-Hellman密钥交换、ElGamal加密)的安全基础[^1]。 ### 四、实现示例 以下是用C语言实现的快速幂算法(幂运算): ```c #include <stdio.h> // 函数:计算 a^b mod m long long mod_exp(long long a, long long b, long long m) { long long res = 1; a = a % m; // 先,确保a<m while (b > 0) { // 如果b是奇数,则乘上当前的a if (b % 2 == 1) { res = (res * a) % m; } // 将指数右移一位(相当于除以2) b = b >> 1; // 将底数平方 a = (a * a) % m; } return res; } int main() { long long a = 2, b = 10, m = 1000; printf("%lld^%lld mod %lld = %lld\n", a, b, m, mod_exp(a, b, m)); // 输出 2^10 mod 1000 = 24 return 0; } ``` ### 五、注意事项 1. **大整数处理**:在实际密码学应用中,\( a, b, m \) 可能非常大(例如2048位),因此需要使用大整数库(如GMP)来避免溢出。 2. **常数时间实现**:在安全敏感的场景中,算法执行时间不应泄露指数 \( b \) 的信息(例如,避免通过时间侧信道攻击推断私钥)。因此,需要实现常数时间的快速幂算法(通常通过固定循环次数和避免条件分支来实现)。 3. **算法优化**:进一步优化包括使用蒙哥马利约简(Montgomery Reduction)来加速乘运算。 ### 总结 幂运算是密码学中的基础运算,其高效实现依赖于快速幂算法。该算法通过指数的二进制分解,将乘法和操作控制在 \( O(\log b) \) 次,从而能够处理极大的指数。在RSA、Diffie-Hellman等公钥密码系统中,幂运算直接关系到系统的安全性和效率。 §§相关问题§§ 1. 如何用快速幂算法计算矩阵的幂? 2. 离散对数问题在密码学中还有哪些应用? 3. 如何优化幂运算以抵抗侧信道攻击? 4. 在RSA算法中,为什么选择65537作为公钥指数? 5. 除了快速幂算法,还有哪些方法可以计算大数的幂?</think>### 幂运算的数学原理与实现详解 幂运算(Modular Exponentiation)是密码学中的核心运算,指计算形如 \( a^b \mod m \) 的表达式。其核心在于**高效计算大指数幂的运算结果**,同时避免中间值溢出。下面从数学原理和实现方法两方面详细说明: --- #### 一、数学原理 1. **运算性质** 幂运算基于以下关键性质: \[ (a \times b) \mod m = [(a \mod m) \times (b \mod m)] \mod m \] 这一性质允许我们将大数运算分解为多个小数运算的组合[^1]。 2. **指数分解原理** 任意指数 \( b \) 可表示为二进制形式: \[ b = \sum_{i=0}^{k} b_i \cdot 2^i \quad (b_i \in \{0,1\}) \] 因此: \[ a^b = a^{\sum b_i \cdot 2^i} = \prod_{i=0}^{k} \left( a^{2^i} \right)^{b_i} \] 例如: \[ a^{11} = a^{8+2+1} = a^8 \times a^2 \times a^1 \] 3. **离散对数难题** 已知 \( a^b \mod m \) 求 \( b \) 是**离散对数问题**,在经典计算机上无多项式时间解法,这是公钥密码学的安全基础[^1]。 --- #### 二、快速幂算法实现 快速幂算法通过**二进制分解指数+迭代平方**实现 \( O(\log n) \) 时间复杂度: ##### 算法步骤(迭代法): 1. 初始化结果 \( res = 1 \) 2. 将底数 \( a \) 对 \( m \) : \( a \leftarrow a \mod m \) 3. 当指数 \( b > 0 \) 时循环: - 若 \( b \) 为奇数: \( res \leftarrow (res \times a) \mod m \) - 将 \( a \) 平方: \( a \leftarrow (a \times a) \mod m \) - 将 \( b \) 右移一位: \( b \leftarrow b // 2 \) 4. 返回 \( res \) ##### 代码实现(C语言): ```c #include <stdio.h> int mod_exp(int base, int exp, int mod) { int res = 1; base %= mod; // 初始 while (exp > 0) { if (exp & 1) // 指数为奇数 res = (res * base) % mod; base = (base * base) % mod; // 底数平方 exp >>= 1; // 指数右移 } return res; } int main() { printf("2^10 mod 1000 = %d\n", mod_exp(2, 10, 1000)); // 输出 24 return 0; } ``` ##### 示例计算 \( 3^{13} \mod 7 \): | 步骤 | 指数 \( b \) (二进制) | \( a \) | \( res \) | |------|------------------------|---------|--------------------| | 初始 | 1101 (13) | 3 | 1 | | 1 | 1101 (奇) | 3 | \( 1×3 \mod 7=3 \) | | | 右移→110 | \( 3^2 \mod 7=2 \) | | | 2 | 110 (偶) | 2 | 3 | | | 右移→11 | \( 2^2 \mod 7=4 \) | | | 3 | 11 (奇) | 4 | \( 3×4 \mod 7=5 \) | | | 右移→1 | \( 4^2 \mod 7=2 \) | | | 4 | 1 (奇) | 2 | \( 5×2 \mod 7=3 \) | | 结果 | | | **3** | --- #### 三、密码学中的应用 1. **RSA加密/解密** - 加密: \( c = m^e \mod n \) - 解密: \( m = c^d \mod n \) 依赖快速幂处理大指数(如2048位)[^1][^3]。 2. **Diffie-Hellman密钥交换** 计算 \( g^{ab} \mod p \) 建立共享密钥,其中 \( a,b \) 为私钥。 3. **数字签名** DSA和ECDSA签名验证涉及幂运算。 --- #### 四、关键优化技术 1. **蒙哥马利约简** 通过预计算加速乘运算,适用于硬件实现。 2. **滑动窗口法** 将指数分组处理,减少乘法次数(如处理连续0比特)。 3. **中国剩余定理(CRT)** 在RSA解密中,将运算分解为: \[ m = [ (c^{d_p} \mod p) \cdot q \cdot q^{-1} + (c^{d_q} \mod q) \cdot p \cdot p^{-1} ] \mod n \] 速度提升4倍[^3]。 --- #### 五、安全性注意事项 1. **侧信道攻击防御** - 常数时间实现:避免条件分支泄露指数信息 - 盲化技术:添加随机数掩码 2. **大数选择原则** - 数 \( m \) 至少2048位 - 指数 \( b \) 需足够大(如RSA中 \( e>2^{16} \)) > 快速幂算法将指数运算从 \( O(n) \) 优化到 \( O(\log n) \),使1024位RSA解密在普通CPU上仅需毫秒级[^2]。
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