高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第三节-微积分基本定理

高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分

第三节 微积分基本定理

一、原函数与变上限积分

• 原函数

  • 定义：对函数 $f(x)$，若存在 $F(x)$ 使得 $F^{\prime }(x)=f(x),x\in I$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $I$ 的一个原函数。
  • 定理：若 $G(x)$​ 与 $F(x)$​ 均为 $f(x)$​ 的原函数，则满足 $F(x)=G(x)+C$ ​
  • 说明
    • 原函数不唯一
    • $F(x)$​ 是 $f(x)$​ 的一个原函数 $\Rightarrow F(x)+C$​ 是 $f(x)$​ 的全体原函数

• 变上限积分

  • 定义

    ​ (1) 若$f(x)\in R[a,b]$，定义函数 $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$ 为$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的变上限积分.

    ​ (2) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，每取定一点 $x_0\in [a,b]$，${\int }_a^{x}f(t)dt$ 有唯一对应值，

    ​ 相当于在 $[a,b]$ 上定义一个新函数。

  • 性质

    ​ (1) 连续性

    ​ 若 $f(x)\in R[a,b],\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，则 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 连续

    ​ (2) 可微性

    ​ 若 $f(x)\in C[a,b],\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，则 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 可导，且 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$​

  • 变限积分函数求导推广

    ​ (1) $[{\int }_a^{x}f(t)dt{]}^{\prime }=f(x)$

    ​ (2) $[{\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt{]}^{\prime }=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)$

    ​ (3) $[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt{]}^{\prime }=f({\phi }_1(x)){\phi }_1^{\prime }(x)-f({\phi }_2(x)){\phi }_2^{\prime }(x)$

二、微积分基本定理

• 牛顿-莱布尼兹公式

• $f(x)\in C[a,b]\text{且}{F}^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$​ ​

• ${\int }_a^{b}f(x)dx={F(x)|}_a^b=F(b)-F(a)$​

• 说明求定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的值归结为求出 $f(x)$ 的一个原函数

• 注意，${\int }_a^{b}f(x)dx存在\nLeftrightarrow f(x)在[a,b]上存在原函数$ 。

  ​ $f(x)=\{\begin{array}{l}2x\sin \frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos \frac{1}{x^2},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$

最后

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