高等数学笔记-乐经良老师-第四章-微分中值定理和导数的应用-第一节-微分中值定理

高等数学笔记-乐经良老师

第四章 微分中值定理和导数的应用

第一节 微分中值定理

可微函数基本定理

一、费马定理

• 极值

  • 若在点 $x_0$​ 的邻域，有 $f(x)\le f\left(x_0\right),$​称 $f\left(x_0\right)$​ 是 $f(x)$​ 的一个极大值，称 $x_0$​ 为 $f(x)$​​​​ 的一个极大值点。
  • 类似地，有极小值的概念。

• 费马定理

  • 若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值，且 $x_0$ 可导，则 $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$​

• 几何解释

  • 几何上看很自然在曲线的“峰”与“谷”处切线呈水平。
  • 

二、罗尔定理

• 罗尔定理
  • 若 $f(x)$ 满足：
    (1) $f(x)\in C[a,b]$ ——区间上连续
    (2) $f(x)\in D[a,b]$ ——区间内可导
    (3) $f(a)=f(b)$​ ——端点函数值相等
    则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使 $f^{’}(\xi )=0$
• 几何解释
  • 

三、拉格朗日中值定理

• 拉格朗日中值定理

  • 若 $f(x)$​​ 满足：

    ​ (1) $f(x)\in C[a,b]$​​ ——区间上连续

    ​ (2) $f(x)\in D(a,b)$​​​ ——区间内可导

    则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$​​，使 $f^{’}(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$​ 或 $f^{\prime }(\xi )(b-a)=f(b)-f(a)$ ​

• 几何解释

  • 

• 定理的另一种形式

  • 函数的有限增量公式
  • $\exists \theta \in (0,1)$​，$f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x$ ​

• 推论

  • (1) $f^{\prime }(x)\equiv 0(x\in I)\Rightarrow f(x)\equiv c(x\in I)$
  • (2) $f^{\prime }(x)\equiv k(x\in I)\Rightarrow f(x)=kx+b(x\in I)$
  • (3) 导数极限定理：函数在 $U(x_0)$​ 上连续，在 $\stackrel{\circ }{U}(x_0)$​ 内可导，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x_0)$​ 存在，则 $f(x)$​ 在点 $x_0$​ 处可导，且 $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x_0)$ ​​

• 说明

  • 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
  • 定理可证方程开区间内有根。
  • 定理可证不等式（不等式中出现函数增量）。

四、柯西中值定理

• 柯西中值定理

  • 若 $f(x)$ 满足：

    ​ (1) $f(x)\in C[a,b]$ ——区间上连续

    ​ (2) $f(x)\in D[a,b]$ ——区间内可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$

    则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$​ .

• 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，当 $g(x)=x$​​ 时，形式同拉格朗日中值定理。

• 定理可证方程有根（出现两个函数增量）。

最后

😊为防止河蟹，链接已经通过“与熊论道/熊曰加密”加密处理，将下面的文字复制到“与熊论道/熊曰加密”页面的第二个输入框，点击“领悟熊所言的真谛”即可查看链接啦：
😊熊曰：呋食食呦肉非象嗚家吃呱山萌萌笨有哞魚既魚性蜜覺呆食哮性洞哮山噗眠嗥嚄萌洞擊嗄襲呱物人你
😊如果嫌麻烦的话请私信咨询博主，谢谢！
😊PS：繁星依月/惟欢/一舟均为博主的马甲，本篇作品完全原创，再次感谢！