高等数学笔记-乐经良老师-第九章-重积分

高等数学笔记-乐经良老师

第九章 重积分

第一节 二重积分的概念和性质

一、典型例子

01 平面薄板的质量

平面薄板位于 $xy$ 平面区域 $D$，其面密度为 $\mu (x,y)$ 如何求其质量？

类似一元的处理方法，采用：

(1) 分割

将 $D$ 任意划分成 $n$ 个小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n,\Delta D_i$ 的面积记为 $\Delta {\sigma }_i,(i=1,2,\cdots ,n)$

(2) 作和

在小区域分得很小时，近似认为质量均匀，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i$，薄板的质量近似地表达为
$$m=\sum _{i=1}^n\Delta m_i\approx \sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$
(3) 取极限

记 λ=max⁡1≤1≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤1≤nmax​{di​}，( $d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径 ) 那么若
$$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$
存在，就给出了薄板的质量。

02 曲顶柱体的体积

柱体的侧面是母线垂直 $xy$ 平面的柱面，顶面为曲面 $S:z=f(x,y)$，

底面是 $xy$ 平面上区域 $D$，如何求此曲顶柱体的体积？

(1) 分割

用曲线将 $D$ 分成小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n$，而 $\Delta D_i$ 的面积记为 $\Delta {\sigma }_i$

(2) 求和

区域分得很小时，用柱体来近似小曲顶柱体的体积，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i$，则总体积近似为
$$\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$
(3) 取极限

记 λ=max⁡1≤1≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤1≤nmax​{di​}，( $d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径 ) 则体积 $V$ 由如下极限给出
$$V=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$
从以上例子抽象出来就得到二重积分的概念，这类问题要计算在一个平面区域上分布率不均匀的量的总量。

二、二重积分定义

01 二重积分的定义

设 $D$ 是 $xy$ 平面的有界闭区域，函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 定义，$I$ 为实数，

若将 $D$ 任意划分成个小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n$，

任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i,(i=1,2,\cdots ,n)$，作和
$$\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i(\Delta {\sigma }_i表示\Delta D_i的面积)$$
总有
$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i=I$$
( 其中 λ=max⁡1≤i≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤i≤nmax​{di​}，$d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径 )

则称函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，$I$ 称为$f(x,y)$ 在 $D$ 的二重积分，记为 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$ .

其中，$\iint -$ 积分号，$D-$ 积分区域，$f(x,y)-$被积函数， $d\sigma -$面积元素。

02 二重积分的几何意义

以区域 $D$ 为底，以曲面 $S:z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

03 可积的充分条件

若函数 $f(x,y)$ 在有界区域 $D$ 上分片连续有界，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 可积。

三、二重积分的性质

设以下性质中出现的积分均存在

• 性质1 (线性) ：若 $\alpha ,\beta$ 是常数，
  $$\underset{D}{\iint }(\alpha f(x,y)+\beta g(x,y))d\sigma =\alpha \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma +\beta \underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma$$

• 性质2 (可加性) ：若积分区域 $D$ 分成 $D_1,D_2$ 两个子区域，
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)d\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)d\sigma$$

• 性质3：
  $$\underset{D}{\iint }1d\sigma =A_D(D的面积)$$

• 性质4 (单调性) ：若 $f(x,y)\le g(x,y)$，则
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma$$
  性质4的推论：
  $$\begin{array}{rl}& (1)若f(x,y)\ge 0,则\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \ge 0\\ & (2)\left|\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \right|\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|d\sigma (三角不等式的推广)\\ & (3)若m\le f(x,y)\le M,则m{A}_D\le \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le M{A}_D\end{array}$$

• 性质5 (中值定理) ：若 $D$ 是有界闭区域，$f(x,y)\in C(D)$，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$，
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )A_D$$
  对应一元函数定积分中的平均值定理（积分第一中值定理）

第二节 二重积分的计算

一、直角坐标系下的计算

01 $x$ 型正则区域

设区域 D={(x,y)∣a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}D=\left\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, \varphi_{1}(x) \leq y \leq \varphi_{2}(x)\right\}D={(x,y)∣a≤x≤b,φ1​(x)≤y≤φ2​(x)}

二重积分 $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy$ $(d\sigma =dxdy)$ 的值

等于以 $D$ 为底，以曲面 $S$ : $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

利用定积分来求体积考虑垂直 $x$ 轴过 $x$ 处的平面截曲顶柱体所得截面积 $A(x)$

截面曲边梯形的面积 $A(x)$
$$\mathrm{A}(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$
可得曲顶柱体的体积
$$V={\int }_a^b\mathrm{A}(x)dx={\int }_a^b\left({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right)dx$$
导出
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right)dx$$
写成
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$

02 $y$ 型正则区域

若积分区域
D={(x,y)∣ψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d} D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y), c \leq y \leq d\right\} D={(x,y)∣ψ1​(y)≤x≤ψ2​(y),c≤y≤d}
则有
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx$$
小总结

对于一般区域的二重积分可将其分成若干个正则子区域，
利用积分的可加性，分别在各子区域积分后求和。

当积分区域关于 $x$ 轴或 $y$ 轴对称时，注意被积函数是否有奇偶性，从而使积分简化。

对称性非常重要！

二、极坐标系下的计算公式

当积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标表示较为简单时，二重积分有时可用极坐标来计算

我们来考虑面积元素 $\Delta \sigma$ 在极坐标下的形式

用 $r$ 为常数所表示的圆周族和 $\theta$ 为常数所表示的射线族分割区域 $D$，那么小区域面积
$$\begin{array}{rl}& \Delta \sigma =\frac{1}{2}\left[(r+\Delta r{)}^2\Delta \theta -r^2\Delta \theta \right]=\frac{1}{2}\left[2r\Delta r+(\Delta r{)}^2\right]\Delta \theta \\ & ⟹d\sigma =rdrd\theta \end{array}$$
从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D}{\iint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$$
若区域 D={(r,θ)∣r1(θ)≤r≤r2(θ),α≤θ≤β}D =\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leq r \leq r_{2}(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\}D={(r,θ)∣r1​(θ)≤r≤r2​(θ),α≤θ≤β}

二重积分化为累次积分
$$\underset{D}{\iint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rd\theta$$

三、二重积分的变量代换

设变换 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$ 有连续偏导数，且满足
$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{ll}{x}_u& y_u\\ x_v& y_v\end{array}\right|\ne 0$$
而 $f(x,y)\in C(D)$，那么
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$
$uv$ 平面小矩形 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }⟶xy$ 平面曲边四边形 $ABCD$
$$\begin{array}{rl}& A^{\prime }(u,v)⟶A(x(u,v),y(u,v))\\ & B^{\prime }(u+\Delta u,v)⟶B(x(u+\Delta u,v),y(u+\Delta u,v))\\ & C^{\prime }(u+\Delta u,v+\Delta v)⟶C(x(u+\Delta u,v+\Delta v),y(u+\Delta u,v+\Delta v))\\ & D^{\prime }(u,v+\Delta v)⟶D(x(u,v+\Delta v),y(u,v+\Delta v))\end{array}$$
（此处应该有图）

$ABCD$ 近似平行四边形，只需求出一组邻边的向量表示
$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}\approx \left(x_u(u,v)\Delta u,y_u(u,v)\Delta u\right)\\ & \overrightarrow{AD}\approx \left(x_v(u,v)\Delta v,y_v(u,v)\Delta v\right)\\ & \Rightarrow \\ & \Delta \sigma \approx \left|\begin{array}{ll}{x}_u(u,v)\Delta u& x_v(u,v)\Delta u\\ y_u(u,v)\Delta v& y_v(u,v)\Delta v\end{array}\right|=|J|\Delta u\Delta v\\ & \\ & d\sigma =|J|dudv\end{array}$$

第三节 三重积分

一、三重积分的定义

00 引入

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV$ 你能说出它的含义吗？

概念联系的问题

一个占据三维空间中区域 $Q$ 的几何体，其密度为 $f(x,y,z)$，那么其质量为多少?

回顾定积分和二重积分的概念

求在三维区域上分布率非均匀的某种物理量 (或其它量) 的总量

分割—求和—求极限

01 定义

设 $\Omega$ 是 $R^3$ 中的有界闭区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上定义，$I$ 为实数，

若将区域 $\Delta {\Omega }_1,\Delta {\Omega }_2,\cdots ,\Delta {\Omega }_n$，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\in \Delta {\Omega }_i$，作和
$$\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i(\Delta V_i是\Delta {\Omega }_i的体积)$$
总有
$$\underset{i\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i=I$$
( 其中 λ=max⁡1≤i≤n{di},di\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}, d_{i}λ=max1≤i≤n​{di​},di​ 是小区域 $\Delta {\Omega }_i$ 的直径 )

则称函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 可积，$I$ 称为 $f$ 在 $\Omega$ 的三重积分，记为
$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV(dV-体积元素)$$

02 意义

一种物理意义（三维物体的质量）

若 $f(x,y,z)$ 表示占有三维空间区域 $Q$ 的物体的质量密度函数，则

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 给出了物体的质量

02 性质

(1) 类似二重积分，有线性、可加性、单调性和中值定理，还有

(2) $\underset{\Omega }{\iiint }1dV=V_{\Omega }(\Omega 的体积)$

二、在直角坐标系下的计算公式

直角坐标系下
$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$$

01 柱线法

设 $\Omega$ 是以曲面 $\mathrm{z}={\mathrm{z}}_1(x,y)$ 为底，曲面 $\mathrm{z}={\mathrm{z}}_2(x,y)$ 为顶，

而侧面是母线平行 $z$ 轴的柱面所围成的区域。

设 $\Omega$ 在 $xy$ 平面上的投影区域为 $D$ ，则 $\Omega$ 可表示为（$xy$ 型正则区域）
{(x,y,z)∣z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D} \left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x, y) \leq z \leq z_{2}(x, y),(x, y) \in D\right\} {(x,y,z)∣z1​(x,y)≤z≤z2​(x,y),(x,y)∈D}
从质量角度求三重积分，则 $f(x,y,z)$ 为密度，对 $(x,y)\in D$，
$$\mu (x,y)={\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$
给出了 $\Omega$ 内由 $z_1(x,y)$ 到 $z_2(x,y)$ 的线段上所分布的质量密度。

物体的总质量就是
$$\underset{D}{\iint }\left({\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y.z)dz\right)dxdy$$
从而
$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{D}{\iint }dxdy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y\cdot z)dz$$

02 截面法

设区域 $\Omega$ 在 $z$ 轴上投影区间为 $[h_1,h_2]$，即 $\Omega$ 介于平面 $\mathrm{z}=h_1$ 与 $\mathrm{z}=h_2$ 之间，

垂直 $z$ 轴过 $z$ 处的平面截 $\Omega$ 所得截面为区域 $D_z$，则（$z$ 型空间区域）
Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz,h1≤z≤h2} \Omega=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{z}, h_{1} \leq z \leq h_{2}\right\} Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz​,h1​≤z≤h2​}
仍从质量角度考虑，对 $z\in [h_1,h_2]$，二重积分
$$F(z)=\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)dxdy$$
给出了物体在截面 $D_z$ 上所分布的质量。物体的总质量为：
$${\int }_{z_1}^{z_2}\left(\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)dxdy\right)dz$$
从而有：
$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_{h_1}^{h_2}dz\underset{D_x}{\iint }f(x,y,z)dxdy$$

三、三重积分变量代换

与二重积分的变量代换类似，

设变换 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\end{array}$ 有连续偏导数，且满足
$$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{lll}{x}_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\\ x_w& y_w& z_w\end{array}\right|\ne 0$$
而 $f(x,y,x)\in C(\Omega )$，那么
$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{\Omega }{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw$$

01 柱面坐标系下的三重积分

这个坐标系实际上就是 $xy$ 坐标转变为极坐标，即变换公式为 $\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$

由于
$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -r\sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r$$
得到柱坐标积分公式
$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\Omega }{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$$
注意，事实上，在具体计算时，可以用柱线法或截面法得到 $D$ ( 或 $D_z$ ) 的二重积分，再转化为极坐标。

02 球面坐标系下的三重积分

设点 $M(x,y,z)$ 是空间一点，引进球坐标 $(\rho ,\phi ,\theta )$

$\rho =\Vert \overrightarrow{OM}\Vert$，$\phi :\overrightarrow{OM}$ 与z轴正向的夹角，$\theta :\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正向的夹角，

且 $\rho$，$\phi$，$\theta$ 满足
$$0\le \rho \le +\infty ,0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi 或-\pi \le \theta \le \pi$$
坐标变换关系式$⟹\{\begin{array}{c}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$

由于雅可比行列式
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}& =\left|\begin{array}{ccc}\sin \phi \cos \theta & \sin \phi \sin \theta & \cos \phi \\ \rho \cos \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \sin \theta & -\rho \sin \phi \\ -\rho \sin \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta & 0\end{array}\right|={\rho }^2\sin \phi \end{array}$$
导出
$$\begin{array}{rl}& \underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{{\Omega }^{\ast }}{\iiint }f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta \end{array}$$
使用球坐标时，

$\rho =$ 常数:球面，$\phi =$ 常数: 锥面，$\theta =$ 常数: 平面，

且球面和锥面的中心在原点，平面过 $z$ 轴。

注意，围成区域的部分曲面有上述特点，或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$，可考虑用球坐标

第四节 重积分的应用

一、曲面面积

设空间曲面 $S$ 为 $z=f(x,y)$，$(x,y)$ 定义于 $D$，即曲面 $S$ 在 $xy$ 平面的投影区域为 $D$，如何求 $S$ 的面积？

用分割求和（微元法）的思想将 $D$ 分割成小区域，对应 $D$ 上小区域面积 $\Delta \sigma =\Delta x\Delta y$ ，$S$ 上的小曲面面积为 $\Delta S$，当小区域微小时，$\Delta S|\cos \phi |\approx \Delta \sigma$，其中 $\phi$ 是 $\Delta S$ 所在平面与 $xy$ 平面夹角。

$\phi$ 是 $\Delta S$ 上的法向量与 $z$ 方向的夹角，这两个方向向量分别为 {zx,zy,−1},{0,0,1}\left\{z_{x}, z_{y},-1\right\},\{0,0,1\}{zx​,zy​,−1},{0,0,1}

导出
$$|\cos \phi |=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$$
因此得到曲面面积的有关公式
$$\begin{array}{rl}& dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy(曲面面积元素)\\ & S=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy\end{array}$$

二、重积分的物理应用举例

01 质心

物体的质心 ( 或重心 ) 与它的质量和静力矩有关。

设面密度为 $\mu (x,y)$ 薄板占据平面区域 $D$

考虑 $D$ 上面积元素 $dxdy$ 其质量为 $\mu (x,y)dxdy$，

从而对 $y$ 轴的静力矩为 $d{M}_y=x\mu (x,y)dxdy$

质量 $m$ 和静力矩 $M_y$ 为：$m=\underset{D}{\iint }\mu (x,y)d\sigma$，$M_y=\underset{D}{\iint }x\mu (x,y)d\sigma$

同样，对 $x$ 轴电静力矩 $M_x=\underset{D}{\iint }y\mu (x,y)d\sigma$

于是薄片的质心位置 $(\bar{x},\bar{y})$
$$\bar{x}=\frac{M_y}{m}=\frac{\underset{D}{\iint }x\mu (x,y)d\sigma }{\underset{D}{\iint }\mu (x,y)d\sigma },\bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{\underset{D}{\iint }y\mu (x,y)d\sigma }{\underset{D}{\iint }\mu (x,y)d\sigma }$$
注意，当 $\mu =1$ 时得到平面图形的形心

思考：对三维物体如何求质心。

02 转动惯量

转动惯量也是一种矩 ( 二次矩 )，设平面区域 $D$ 上薄板的面密度为 $\mu (x,y)$ ，

那么面积元素 $d\sigma$ 处微量物体对 $y$ 轴的转动惯量
$$\begin{array}{rl}& d{I}_y=x^2\mu (x,y)d\sigma ⟹I_y=\underset{D}{\iint }{x}^2\rho (x,y)d\sigma \end{array}$$
问题：对 $x$ 轴和对原点 $O$ 的转动惯量?

最后

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