高等数学笔记：极限的性质总结

最新推荐文章于 2023-09-13 21:14:56 发布

原创

最新推荐文章于 2023-09-13 21:14:56 发布 · 5.6k 阅读

16 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#学习

本文详细解析数列极限的唯一性、有界性和保号性，以及函数极限的保序性、保不等式性和归并性。通过实例说明概念，包括数列的奇偶子列和函数局部性质的应用。

                    
                        
                    
                    繁星数学随想录·笔记卷 
摘录卷 
极限的性质总结 
一、数列极限的性质 
01 唯一性 
lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞xn=B⇒A=B\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=Bn→∞lim​xn​=A,n→∞lim​xn​=B⇒A=B
 
02 有界性 
lim⁡n→∞xn=A⇒∃M>0:∣xn∣<M(∀n∈N+)\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M \quad\left(\forall n \in \mathbf{N}_{+}\right)n→∞lim​xn​=A⇒∃M>0:∣xn​∣<M(∀n∈N+​)
 
03 保号性 
表述01 
  lim⁡n→∞xn=A>0⇒∃N∈N+:∀n>N,xn>A2\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}n→∞lim​xn​=A>0⇒∃N∈N+​:∀n>N,xn​>2A​
 
表述02（同济版） 
  若 lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0n→∞lim​xn​=A>0​ ，那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>0x_{n}>0xn​>0​
若 lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0n→∞lim​xn​=A<0​ ，那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn<0x_{n}<0xn​<0​
 
表述03 
  若 lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0n→∞lim​xn​=A>0 ，那么 ∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (0,A) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>A′x_{n}>A'xn​>A′
若 lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0n→∞lim​xn​=A<0​ ，那么 ∀A′∈(A,0),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (A,0) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,∀A′∈(A,0),∃N∈

                

最低0.47元/天解锁文章