高等数学笔记:极限的性质总结

本文详细解析数列极限的唯一性、有界性和保号性,以及函数极限的保序性、保不等式性和归并性。通过实例说明概念,包括数列的奇偶子列和函数局部性质的应用。

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繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

极限的性质总结

一、数列极限的性质

01 唯一性
  • lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞xn=B⇒A=B\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=Bnlimxn=A,nlimxn=BA=B
02 有界性
  • lim⁡n→∞xn=A⇒∃M>0:∣xn∣<M(∀n∈N+)\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M \quad\left(\forall n \in \mathbf{N}_{+}\right)nlimxn=AM>0:xn<M(nN+)
03 保号性
  • 表述01
    • lim⁡n→∞xn=A>0⇒∃N∈N+:∀n>N,xn>A2\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}nlimxn=A>0NN+:n>N,xn>2A
  • 表述02(同济版)
    • lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0nlimxn=A>0​ ,那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,NN+,n>N,xn>0x_{n}>0xn>0
    • lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0nlimxn=A<0​ ,那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,NN+,n>N,xn<0x_{n}<0xn<0
  • 表述03
    • lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0nlimxn=A>0 ,那么 ∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (0,A) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,A(0,A),NN+,n>N,xn>A′x_{n}>A'xn>A
    • lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0nlimxn=A<0​ ,那么 ∀A′∈(A,0),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (A,0) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,A(A,0),NN+,n>N,​ 有 xn<A′x_{n}<A'xn<A
  • 保号性结论本身不涉及等于0的情况
    • 保的既然是”号“,那么就与 0 无关了
    • 考虑两个数列:−1n-\frac1nn11n\frac1nn1,两数列极限均为0,但一个恒正,一个恒负​
  • 保号性的推论
    • 对表述02-②取逆否命题
    •  若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 lim⁡n→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0 若对于 {xn},NN+: n>N xn0 nlimxn=AA0​​
    • 问题 条件中 xn≥0x_{n} \geq 0xn0 改为 x>0x>0x>0, 结论能否 A>0A>0A>0 ?
      • 改为 xn>0x_{n}>0xn>0,结论并不是 A>0A>0A>0
04 保序性
  • lim⁡n→∞xn=A\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=Anlimxn=A​​​​ 与 lim⁡n→∞yn=B\lim \limits_{n\rightarrow \infty} y_{n}=Bnlimyn=B​​​​,且 A>BA>BA>B​​​​​ ,则 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,NN+,n>N,​​​ 有 xn>ynx_{n}>y_{n}xn>yn​​​
  • 极限的大小顺序保证了函数的大小顺序
  • 极限大的,数列有无穷项更大
  • 保序性结论本身也不涉及相等的情况
    • 保的既然是”序“,那么相等就没有次序可言了
    • 考虑两个数列:−1n-\frac1nn11n\frac1nn1​,两数列极限均为0,但一个恒正,一个恒负
  • 保序性的推论
    • yn=0y_{n}=0yn=0
    • lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=A>0nlimxn=A>0​ ,则 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,NN+,n>N,​ 有 xn>0x_{n}>0xn>0​​​ ① ,同样地,​
    • lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=A<0nlimxn=A<0​​ ,则 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,NN+,n>N,​​ 有 xn<0x_{n}<0xn<0 ②​​​
    • 对②取逆否命题
      •  若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 lim⁡n→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0 若对于 {xn},NN+: n>N xn0 nlimxn=AA0
      • 此即保号性的推论,殊途同归
05 保不等式性
  • xn≥yn,lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞yn=B⇒A≥Bx_{n} \geq y_{n}, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow A \geq Bxnyn,nlimxn=A,nlimyn=BAB
  • 函数的不等式保证了极限的不等式
  • 原来大的,极限也大
  • 保不等式性结论本身允许相等的情况
    • 保的既然是”不等式“,那么相等和不相等都应该包含
06 归并性
  • 子列
    • 数列 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 中的无穷项, 它们下标依次为 n1<n2<⋯<nk<⋯n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdotsn1<n2<<nk< ,则称数列 xn1,xn2,⋯ ,xnk,⋯x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdots, x_{n_{k}}, \cdotsxn1,xn2,,xnk,{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 的子列, 记为 {xnk}\left\{x_{n_{k}}\right\}{xnk}
  • lim⁡n→∞xn=A⇔∀{xnk}⊂{xn}:lim⁡k→∞xnk=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_{n_{k}}\right\} \subset\left\{x_{n}\right\}: \lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=Anlimxn=A{xnk}{xn}:klimxnk=A
  • 命题常应用于说明极限不存在
    • 例如:xn=(−1)nx_{n}=(-1)^{n}xn=(1)n
07 合并性
  • 我自己起的名字:奇偶子列极限同为A <=> 数列极限为A
  • lim⁡k→∞x2k−1=A\lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{2 k-1}=Aklimx2k1=Alim⁡k→∞x2k=A⇔lim⁡n→∞xn=A\lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=A \Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=Aklimx2k=Anlimxn=A

二、函数极限的性质

(1) 唯一性
  • lim⁡x→af(x)=A,lim⁡x→af(x)=B,⇒A=B\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=B, \Rightarrow A=Bxalimf(x)=A,xalimf(x)=B,A=B
(2) 局部有界性
  • lim⁡x→af(x)=A⇒∃δ>0,M>0:∣f(x)∣≤M,(x∈U∘(a,δ))\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A \Rightarrow \exists \delta>0, M>0:|f(x)| \leq M,(x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta))xalimf(x)=Aδ>0,M>0:f(x)M,(xU(a,δ))
(3) 局部保号性
  • 表述01
    • lim⁡x→af(x)=A>0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)>A2(>0)\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \delta>0,\forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta), f(x)>\frac{A}{2}(>0)xalimf(x)=A>0δ>0,xU(a,δ),f(x)>2A(>0)
  • 表述02
    • 由表述01重写得
    • lim⁡x→af(x)=A>0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)>0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \delta>0,\forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta), f(x)>0xalimf(x)=A>0δ>0,xU(a,δ),f(x)>0​​
    • lim⁡x→af(x)=A<0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)<0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A<0 \Rightarrow \exists \delta>0,\forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta), f(x)<0xalimf(x)=A<0δ>0,xU(a,δ),f(x)<0
  • 表述03
    • lim⁡x→af(x)=A>0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0xalimf(x)=A>0 ,那么 ∀A′∈(0,A),∀x∈U∘(a,δ),\forall A' \in (0,A) , \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),A(0,A),xU(a,δ),f(x)>A′f(x)>A'f(x)>A
    • lim⁡x→af(x)=A<0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A<0xalimf(x)=A<0 ,那么 ∀A′∈(A,0),∀x∈U∘(a,δ),\forall A' \in (A,0) , \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),A(A,0),xU(a,δ),f(x)<A′f(x)<A'f(x)<A
  • 局部保号性的推论
    • 由表述02-②取逆否命题有
    • ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),δ>0,xU(a,δ),f(x)≥0f(x)\geq0f(x)0,那么lim⁡x→af(x)=A≥0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A\geq0xalimf(x)=A0
(4) 局部保序性
  • lim⁡x→af(x)=A,lim⁡x→ag(x)=B,A>B\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A,\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=B,A>Bxalimf(x)=Axalimg(x)=BA>B​ ,那么 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),δ>0,xU(a,δ),​ 有 f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x)
  • 局部保序性的特殊情况
    • g(x)=0g(x)=0g(x)=0​​​ 时,有以下结论:
      • lim⁡x→af(x)=A>0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0xalimf(x)=A>0​​​ ,那么 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),δ>0,xU(a,δ),​​​ 有 f(x)>0f(x)>0f(x)>0
      • lim⁡x→af(x)=A<0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A<0xalimf(x)=A<0​​​ ,那么 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),δ>0,xU(a,δ),​​​ 有 f(x)<0f(x)<0f(x)<0
    • 将该结论②取逆否命题,有:
      • ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),δ>0,xU(a,δ),​​​​ 有 f(x)≥0f(x)\geq0f(x)0​​​​,那么lim⁡x→af(x)=A≥0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A\geq0xalimf(x)=A0​​​​
      • 此即局部保号性的推论,殊途同归
(5) 局部保不等式性
  • ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),lim⁡x→af(x)=A,lim⁡x→ag(x)=B,f(x)>g(x)\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A,\lim \limits_{x\rightarrow a} g(x)=B,f(x)>g(x)δ>0,xU(a,δ),xalimf(x)=Axalimg(x)=Bf(x)>g(x) ,那么有 A>BA>BA>B
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