繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
极限的性质总结
一、数列极限的性质
01 唯一性
- limn→∞xn=A,limn→∞xn=B⇒A=B\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=Bn→∞limxn=A,n→∞limxn=B⇒A=B
02 有界性
- limn→∞xn=A⇒∃M>0:∣xn∣<M(∀n∈N+)\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M \quad\left(\forall n \in \mathbf{N}_{+}\right)n→∞limxn=A⇒∃M>0:∣xn∣<M(∀n∈N+)
03 保号性
- 表述01
- limn→∞xn=A>0⇒∃N∈N+:∀n>N,xn>A2\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}n→∞limxn=A>0⇒∃N∈N+:∀n>N,xn>2A
- 表述02(同济版)
- 若 limn→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0n→∞limxn=A>0 ,那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>0x_{n}>0xn>0
- 若 limn→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0n→∞limxn=A<0 ,那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn<0x_{n}<0xn<0
- 表述03
- 若 limn→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0n→∞limxn=A>0 ,那么 ∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (0,A) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>A′x_{n}>A'xn>A′
- 若 limn→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0n→∞limxn=A<0 ,那么 ∀A′∈(A,0),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (A,0) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,∀A′∈(A,0),∃N∈N+,∀n>N, 有 xn<A′x_{n}<A'xn<A′
- 保号性结论本身不涉及等于0的情况
- 保的既然是”号“,那么就与 0 无关了
- 考虑两个数列:−1n-\frac1n−n1 和 1n\frac1nn1,两数列极限均为0,但一个恒正,一个恒负
- 保号性的推论
- 对表述02-②取逆否命题
- 若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 limn→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0 若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 n→∞limxn=A⇒A≥0
- 问题 条件中 xn≥0x_{n} \geq 0xn≥0 改为 x>0x>0x>0, 结论能否 A>0A>0A>0 ?
- 改为 xn>0x_{n}>0xn>0,结论并不是 A>0A>0A>0
04 保序性
- 若 limn→∞xn=A\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=An→∞limxn=A 与 limn→∞yn=B\lim \limits_{n\rightarrow \infty} y_{n}=Bn→∞limyn=B,且 A>BA>BA>B ,则 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>ynx_{n}>y_{n}xn>yn
- 极限的大小顺序保证了函数的大小顺序
- 极限大的,数列有无穷项更大
- 保序性结论本身也不涉及相等的情况
- 保的既然是”序“,那么相等就没有次序可言了
- 考虑两个数列:−1n-\frac1n−n1 和 1n\frac1nn1,两数列极限均为0,但一个恒正,一个恒负
- 保序性的推论
- 当 yn=0y_{n}=0yn=0 时
- 若 limn→∞xn=A>0\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=A>0n→∞limxn=A>0 ,则 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>0x_{n}>0xn>0 ① ,同样地,
- 若 limn→∞xn=A<0\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=A<0n→∞limxn=A<0 ,则 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn<0x_{n}<0xn<0 ②
- 对②取逆否命题
- 若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 limn→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0 若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 n→∞limxn=A⇒A≥0
- 此即保号性的推论,殊途同归
05 保不等式性
- xn≥yn,limn→∞xn=A,limn→∞yn=B⇒A≥Bx_{n} \geq y_{n}, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow A \geq Bxn≥yn,n→∞limxn=A,n→∞limyn=B⇒A≥B
- 函数的不等式保证了极限的不等式
- 原来大的,极限也大
- 保不等式性结论本身允许相等的情况
- 保的既然是”不等式“,那么相等和不相等都应该包含
06 归并性
- 子列
- 数列 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 中的无穷项, 它们下标依次为 n1<n2<⋯<nk<⋯n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdotsn1<n2<⋯<nk<⋯ ,则称数列 xn1,xn2,⋯ ,xnk,⋯x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdots, x_{n_{k}}, \cdotsxn1,xn2,⋯,xnk,⋯ 为 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 的子列, 记为 {xnk}\left\{x_{n_{k}}\right\}{xnk}
- limn→∞xn=A⇔∀{xnk}⊂{xn}:limk→∞xnk=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_{n_{k}}\right\} \subset\left\{x_{n}\right\}: \lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=An→∞limxn=A⇔∀{xnk}⊂{xn}:k→∞limxnk=A
- 命题常应用于说明极限不存在
- 例如:xn=(−1)nx_{n}=(-1)^{n}xn=(−1)n
07 合并性
- 我自己起的名字:奇偶子列极限同为A <=> 数列极限为A
- limk→∞x2k−1=A\lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{2 k-1}=Ak→∞limx2k−1=A 且 limk→∞x2k=A⇔limn→∞xn=A\lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=A \Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=Ak→∞limx2k=A⇔n→∞limxn=A
二、函数极限的性质
(1) 唯一性
- limx→af(x)=A,limx→af(x)=B,⇒A=B\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=B, \Rightarrow A=Bx→alimf(x)=A,x→alimf(x)=B,⇒A=B
(2) 局部有界性
- limx→af(x)=A⇒∃δ>0,M>0:∣f(x)∣≤M,(x∈U∘(a,δ))\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A \Rightarrow \exists \delta>0, M>0:|f(x)| \leq M,(x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta))x→alimf(x)=A⇒∃δ>0,M>0:∣f(x)∣≤M,(x∈U∘(a,δ))
(3) 局部保号性
- 表述01
- limx→af(x)=A>0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)>A2(>0)\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \delta>0,\forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta), f(x)>\frac{A}{2}(>0)x→alimf(x)=A>0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)>2A(>0)
- 表述02
- 由表述01重写得
- limx→af(x)=A>0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)>0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \delta>0,\forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta), f(x)>0x→alimf(x)=A>0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)>0
- limx→af(x)=A<0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)<0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A<0 \Rightarrow \exists \delta>0,\forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta), f(x)<0x→alimf(x)=A<0⇒∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),f(x)<0
- 表述03
- 若 limx→af(x)=A>0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0x→alimf(x)=A>0 ,那么 ∀A′∈(0,A),∀x∈U∘(a,δ),\forall A' \in (0,A) , \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),∀A′∈(0,A),∀x∈U∘(a,δ), 有 f(x)>A′f(x)>A'f(x)>A′
- 若 limx→af(x)=A<0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A<0x→alimf(x)=A<0 ,那么 ∀A′∈(A,0),∀x∈U∘(a,δ),\forall A' \in (A,0) , \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),∀A′∈(A,0),∀x∈U∘(a,δ), 有 f(x)<A′f(x)<A'f(x)<A′
- 局部保号性的推论
- 由表述02-②取逆否命题有
- 若 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ), 有 f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0,那么limx→af(x)=A≥0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A\geq0x→alimf(x)=A≥0
(4) 局部保序性
- 若 limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,A>B\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A,\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=B,A>Bx→alimf(x)=A,x→alimg(x)=B,A>B ,那么 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ), 有 f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x)
- 局部保序性的特殊情况
- 当 g(x)=0g(x)=0g(x)=0 时,有以下结论:
- 若 limx→af(x)=A>0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A>0x→alimf(x)=A>0 ,那么 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ), 有 f(x)>0f(x)>0f(x)>0
- 若 limx→af(x)=A<0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A<0x→alimf(x)=A<0 ,那么 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ), 有 f(x)<0f(x)<0f(x)<0
- 将该结论②取逆否命题,有:
- 若 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ), 有 f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0,那么limx→af(x)=A≥0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A\geq0x→alimf(x)=A≥0
- 此即局部保号性的推论,殊途同归
- 当 g(x)=0g(x)=0g(x)=0 时,有以下结论:
(5) 局部保不等式性
- 若 ∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,f(x)>g(x)\exists \delta>0, \forall x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta),\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A,\lim \limits_{x\rightarrow a} g(x)=B,f(x)>g(x)∃δ>0,∀x∈U∘(a,δ),x→alimf(x)=A,x→alimg(x)=B,f(x)>g(x) ,那么有 A>BA>BA>B