高等数学笔记-乐经良老师-第四章-微分中值定理和导数的应用-第五节-曲线的曲率

本文详细介绍了高等数学中微分中值定理的应用,特别是曲率的概念。曲率是衡量曲线弯曲程度的量,与弧长成反比,与切线倾斜角增量成正比。通过弧长的极限定义了曲线的长度,并给出了弧微分的表达式。此外,解释了曲率的计算公式,包括平均曲率和点曲率,并指出曲率半径与曲率的关系。最后讨论了曲率在实际问题中的应用,如比较不同圆的曲率情况。

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高等数学笔记-乐经良

第四章 微分中值定理和导数的应用

第五节 曲线的曲率

一、弧长和弧微分

  • 弧长

    • 曲线内接折线长度的极限 ( 组成折线的线段长 →0\rightarrow 00​​ )
    • 设曲线 C:y=f(x),x∈[a,b]C: y=f(x), x \in[a, b]C:y=f(x),x[a,b]​, 其上 P0,PP_{0}, PP0,P​ 分别对应 x0x_{0}x0​, xxx​,记弧长 P0P⌢=s(x)\overset{\frown}{P_{0} P}=s(x)P0P=s(x)​ .​
  • 弧微分

    • ds>0ds>0ds>0​ 时,ds=(dx)2+(dy)2d s=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}ds=(dx)2+(dy)2​,其几何意义是:

      微小弧长可由该处相应小切线段长代替。

    • ds=(dx)2+(dy)2=1+f′2(x)dxd s=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}=\sqrt{1+f^{'2}(x)} d xds=(dx)2+(dy)2=1+f2(x)dx​ .

    • 推导:由 Δx\Delta xΔx 产生 Δs\Delta sΔs,有

      ​ (1) Δx\Delta xΔxΔs\Delta sΔs​ 同号

      ​ (2) lim⁡Δx→0∣Δs∣∣PP′∣=1\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta s|}{\left|P P^{\prime}\right|}=1Δx0limPP∣Δs=1

      ​ 从而导出:dsdx=1+f′2(x)⇒ds=1+f′2(x)dx\frac{d s}{d x}=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \Rightarrow d s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} d xdxds=1+f′2(x)ds=1+f′2(x)dx​ .

二、曲率

  • 平均曲率

    • 若曲线上 P→P′P \rightarrow P^{\prime}PP​​​ 对应的切线转动角度为 Δφ\Delta \varphiΔφ​​​ 对应弧长增量 Δs\Delta sΔs​​​, 定义 P0P′⌢\overset{\frown}{P_{0} P'}P0P​​​ 的平均曲率为:∣Δφ∣∣Δs∣\frac{|\Delta \varphi|}{|\Delta s|}∣Δs∣Δφ​​ .

    • 对于同样的一段弧长,转动的角度越大,说明这段曲线越弯曲。

    • ⊙A\odot AA 的半径为 RRR⊙B\odot BB 的半径为 rrr,且 R>rR>rR>r

      则圆上最大弧长即周长的曲率分别表示为:

      kA=2π2πR=1R,kB=2π2πr=1rk_A=\frac{2 \pi}{2 \pi R}=\frac1R,k_B=\frac{2 \pi}{2 \pi r}=\frac1rkA=2πR2π=R1,kB=2πr2π=r1,显然 kA<kBk_A<k_BkA<kB

      即大圆的曲率小于小圆的曲率,小圆比大圆更加弯曲。​

    • 可以看出平均曲率反映了这段曲线弧弯曲的程度

    • 在这里插入图片描述

  • 曲率

    曲线的弯曲程度。与弧长成反比;与切线倾斜角增量成正比。k=lim⁡P′→P∣Δφ∣∣Δs∣=lim⁡Δs′→0∣Δφ∣∣Δs∣=∣dφds∣ \begin{aligned} & 曲线的弯曲程度。\\ & 与弧长成反比;与切线倾斜角增量成正比。\\ & k=\lim \limits_{P^{\prime} \rightarrow P} \frac{|\Delta \varphi|}{|\Delta s|} =\lim \limits_{\Delta s' \rightarrow 0} \frac{|\Delta \varphi|}{|\Delta s|}=\left|\frac{d \varphi}{d s}\right| \end{aligned} 曲线的弯曲程度。与弧长成反比;与切线倾斜角增量成正比。k=PPlim∣Δs∣Δφ=Δs0lim∣Δs∣Δφ=dsdφ

  • 曲率半径

    R=1k R=\frac1k R=k1

  • 曲率圆

    • 曲线上某点 PPP 指向凹侧的法线上到 PPP 距离为 RRR 的点为圆心,RRR​ 为半径的圆。
  • 曲率公式

    若曲线上对应 x 的 P 点处切线的倾角为 α,则 Δφ=Δα⇒k=∣dφds∣=∣dαds∣ 且 dα=11+y′2y′′dx,ds=1+y′dx.⇒k=∣y′′(1+y′2)32∣  \begin{aligned} & 若曲线上对应\ x\ 的\ P\ 点处切线的倾角为\ \alpha,则\ \Delta \varphi=\Delta \alpha \\ & \Rightarrow k=\left|\frac{d \varphi}{d s}\right|=\left|\frac{d \alpha}{d s}\right|\ 且\ d \alpha = \frac{1}{1+y^{'2}}y''dx,ds=\sqrt{1+y'}dx .\\ & \Rightarrow k=\left|\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right| \ \end{aligned} 若曲线上对应 x  P 点处切线的倾角为 α,则 Δφ=Δαk=dsdφ=dsdα  dα=1+y21y′′dxds=1+ydx.k=(1+y′2)23y′′ 

在这里插入图片描述

最后

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