高等数学笔记-乐经良
第四章 微分中值定理和导数的应用
第五节 曲线的曲率
一、弧长和弧微分
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弧长
- 曲线内接折线长度的极限 ( 组成折线的线段长 →0\rightarrow 0→0 )
- 设曲线 C:y=f(x),x∈[a,b]C: y=f(x), x \in[a, b]C:y=f(x),x∈[a,b], 其上 P0,PP_{0}, PP0,P 分别对应 x0x_{0}x0, xxx,记弧长 P0P⌢=s(x)\overset{\frown}{P_{0} P}=s(x)P0P⌢=s(x) .
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弧微分
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在 ds>0ds>0ds>0 时,ds=(dx)2+(dy)2d s=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}ds=(dx)2+(dy)2,其几何意义是:
微小弧长可由该处相应小切线段长代替。
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ds=(dx)2+(dy)2=1+f′2(x)dxd s=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}=\sqrt{1+f^{'2}(x)} d xds=(dx)2+(dy)2=1+f′2(x)dx .
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推导:由 Δx\Delta xΔx 产生 Δs\Delta sΔs,有
(1) Δx\Delta xΔx 与 Δs\Delta sΔs 同号
(2) limΔx→0∣Δs∣∣PP′∣=1\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta s|}{\left|P P^{\prime}\right|}=1Δx→0lim∣PP′∣∣Δs∣=1
从而导出:dsdx=1+f′2(x)⇒ds=1+f′2(x)dx\frac{d s}{d x}=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \Rightarrow d s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} d xdxds=1+f′2(x)⇒ds=1+f′2(x)dx .
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二、曲率
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平均曲率
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若曲线上 P→P′P \rightarrow P^{\prime}P→P′ 对应的切线转动角度为 Δφ\Delta \varphiΔφ 对应弧长增量 Δs\Delta sΔs, 定义 P0P′⌢\overset{\frown}{P_{0} P'}P0P′⌢ 的平均曲率为:∣Δφ∣∣Δs∣\frac{|\Delta \varphi|}{|\Delta s|}∣Δs∣∣Δφ∣ .
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对于同样的一段弧长,转动的角度越大,说明这段曲线越弯曲。
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设 ⊙A\odot A⊙A 的半径为 RRR, ⊙B\odot B⊙B 的半径为 rrr,且 R>rR>rR>r,
则圆上最大弧长即周长的曲率分别表示为:
kA=2π2πR=1R,kB=2π2πr=1rk_A=\frac{2 \pi}{2 \pi R}=\frac1R,k_B=\frac{2 \pi}{2 \pi r}=\frac1rkA=2πR2π=R1,kB=2πr2π=r1,显然 kA<kBk_A<k_BkA<kB,
即大圆的曲率小于小圆的曲率,小圆比大圆更加弯曲。
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可以看出平均曲率反映了这段曲线弧弯曲的程度。
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曲率
曲线的弯曲程度。与弧长成反比;与切线倾斜角增量成正比。k=limP′→P∣Δφ∣∣Δs∣=limΔs′→0∣Δφ∣∣Δs∣=∣dφds∣ \begin{aligned} & 曲线的弯曲程度。\\ & 与弧长成反比;与切线倾斜角增量成正比。\\ & k=\lim \limits_{P^{\prime} \rightarrow P} \frac{|\Delta \varphi|}{|\Delta s|} =\lim \limits_{\Delta s' \rightarrow 0} \frac{|\Delta \varphi|}{|\Delta s|}=\left|\frac{d \varphi}{d s}\right| \end{aligned} 曲线的弯曲程度。与弧长成反比;与切线倾斜角增量成正比。k=P′→Plim∣Δs∣∣Δφ∣=Δs′→0lim∣Δs∣∣Δφ∣=dsdφ
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曲率半径
R=1k R=\frac1k R=k1
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曲率圆
- 曲线上某点 PPP 指向凹侧的法线上到 PPP 距离为 RRR 的点为圆心,RRR 为半径的圆。
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曲率公式
若曲线上对应 x 的 P 点处切线的倾角为 α,则 Δφ=Δα⇒k=∣dφds∣=∣dαds∣ 且 dα=11+y′2y′′dx,ds=1+y′dx.⇒k=∣y′′(1+y′2)32∣ \begin{aligned} & 若曲线上对应\ x\ 的\ P\ 点处切线的倾角为\ \alpha,则\ \Delta \varphi=\Delta \alpha \\ & \Rightarrow k=\left|\frac{d \varphi}{d s}\right|=\left|\frac{d \alpha}{d s}\right|\ 且\ d \alpha = \frac{1}{1+y^{'2}}y''dx,ds=\sqrt{1+y'}dx .\\ & \Rightarrow k=\left|\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right| \ \end{aligned} 若曲线上对应 x 的 P 点处切线的倾角为 α,则 Δφ=Δα⇒k=dsdφ=dsdα 且 dα=1+y′21y′′dx,ds=1+y′dx.⇒k=(1+y′2)23y′′
最后
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