高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第四节-函数的极限

高等数学笔记-乐经良老师

第二章 极限与连续

第四节 函数的极限

一、函数极限的定义

01 自变量趋于无穷大时函数的极限

(1) $x\to +\infty$ 的情况

• $x\to +\infty$

  • 设 $f(x)$ 定义在 $[a,+\infty ),\exists A\in \mathbf{R},\forall \epsilon >0$, $\exists X>a$, 当 $x>X$,
    $$|f(x)-A|<\epsilon$$
    称当 $x$ 趋于正无穷时, $f(x)$ 的极限为 $A$, 或收敛于 $A$ 记为
    $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A\text{ 或 }f(x)\to A,(x\to +\infty )$$

  • 注意将此情况与数列极限比较

• $x\to -\infty$

  • 自己写

(2) $x\to \infty$ 的情况

• 设 $f(x)$ 定义在 $|x|>a,\exists A\in \mathbf{R},\forall \epsilon >0$, $\exists X>a$, 当 $|x|>X$,
  $$|f(x)-A|<\epsilon$$
  称当 $x$ 趋于无穷时, $f(x)$ 的极限为 $A$, 或收敛于 $A$ 记为
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A\text{ 或 }f(x)\to A,(x\to \infty )$$

• 推论

  • $$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=A\iff \underset{n\to +\infty }{\lim }f(x)=A\text{且}\underset{n\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$

• $x\to \pm \infty$和$\infty$的极限

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02 自变量趋于有限值时函数的极限

(1) $x\to a$ 的情况

• 设 $f(x)$​ 定义在 $a$​ 的去心邻域, 若存在实数 $A$​, $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$​, 当 $0<|x-a|<\delta$​,
  $$|f(x)-A|<\epsilon$$
  称当 $x$ 趋于 $a$ 时, $f(x)$ 的极限为 $A$, 或收敛于 $A$ 记为
  $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\text{ 或 }f(x)\to A,(x\to a)$$

• 定义在去心邻域说明 $a$ 点的定义是否存在我们并不关心

• 从定义知, 此极限与 $f(x)$ 在 $a$ 点的定义无关, 也与 $f(x)$ 在 $a$ 的邻域外的值无关
  

• $x\to a$ 时的极限是一种双侧极限

(2) $x\to a^{+}$ 的情况（单侧极限）

• 设 $\eta >0,f(x)$ 定义在 $(a,a+\eta )$, 若存在实数 $A$

  $$\begin{gathered} \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{ 当 }0<x-a<\delta , \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$

  称 $f(x)$ 在 $a$ 点的右极限为 $A$, 记为

  $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A,\left(x\to a^{+}\right)或f(a+0)=A$

• 考虑 $x\to a^{-}($或 $a-0)$ 的情况

• 显然有，命题

  • $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\iff$