高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第四节-函数的极限

高等数学笔记-乐经良老师

第二章 极限与连续

第四节 函数的极限

一、函数极限的定义

01 自变量趋于无穷大时函数的极限

(1) $x\to +\infty$ 的情况

• $x\to +\infty$

  • 设 $f(x)$ 定义在 $[a,+\infty ),\exists A\in \mathbf{R},\forall \epsilon >0$, $\exists X>a$, 当 $x>X$,
    $$|f(x)-A|<\epsilon$$
    称当 $x$ 趋于正无穷时, $f(x)$ 的极限为 $A$, 或收敛于 $A$ 记为
    $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A\text{ 或 }f(x)\to A,(x\to +\infty )$$

  • 注意将此情况与数列极限比较

• $x\to -\infty$

  • 自己写

(2) $x\to \infty$ 的情况

• 设 $f(x)$ 定义在 $|x|>a,\exists A\in \mathbf{R},\forall \epsilon >0$, $\exists X>a$, 当 $|x|>X$,
  $$|f(x)-A|<\epsilon$$
  称当 $x$ 趋于无穷时, $f(x)$ 的极限为 $A$, 或收敛于 $A$ 记为
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A\text{ 或 }f(x)\to A,(x\to \infty )$$

• 推论

  • $$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=A\iff \underset{n\to +\infty }{\lim }f(x)=A\text{且}\underset{n\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$

• $x\to \pm \infty$和$\infty$的极限

  -

02 自变量趋于有限值时函数的极限

(1) $x\to a$ 的情况

• 设 $f(x)$​ 定义在 $a$​ 的去心邻域, 若存在实数 $A$​, $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$​, 当 $0<|x-a|<\delta$​,
  $$|f(x)-A|<\epsilon$$
  称当 $x$ 趋于 $a$ 时, $f(x)$ 的极限为 $A$, 或收敛于 $A$ 记为
  $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\text{ 或 }f(x)\to A,(x\to a)$$

• 定义在去心邻域说明 $a$ 点的定义是否存在我们并不关心

• 从定义知, 此极限与 $f(x)$ 在 $a$ 点的定义无关, 也与 $f(x)$ 在 $a$ 的邻域外的值无关
  

• $x\to a$ 时的极限是一种双侧极限

(2) $x\to a^{+}$ 的情况（单侧极限）

• 设 $\eta >0,f(x)$ 定义在 $(a,a+\eta )$, 若存在实数 $A$

  $$\begin{gathered} \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{ 当 }0<x-a<\delta , \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$

  称 $f(x)$ 在 $a$ 点的右极限为 $A$, 记为

  $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A,\left(x\to a^{+}\right)或f(a+0)=A$

• 考虑 $x\to a^{-}($或 $a-0)$ 的情况

• 显然有，命题

  • $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\iff \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=A\text{ 且 }\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=A$

03 函数极限时的无穷小与无穷大

• 函数极限时的无穷小

  • 函数极限时的无穷小

    若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$，则称当 $x\to a$ 时， $f(x)$ 为无穷小，

    记为： $f(x)=o(1)(x\to a)$

  • 显然有命题，

    $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\iff f(x)-A\text{为无穷小}$

• 函数极限时的无穷大

  • 函数极限时的无穷大

    设 $f(x)$ 定义在 $U^{\circ }(a)$，$\forall M>0$，$\exists \delta >0$，

    当 $0<|x-a|<\delta$， $|f(x)|>M$，则称当 $x\to a$ 时， $f(x)$ 为无穷大，

    记为： $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$

  • 显然有命题，

    • 若 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0$，则 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$
    • 但是，$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ 推不出 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\infty$​（因为 $f(x)$ 可能为0）

  • 仍然有 $+\infty$ 和一 $\infty$ 的情况，注意差别

04 函数极限与数列极限的关系

• 海涅定理

  • lim⁡x→af(x)=A⟺∀{xn}，xn→a，则 lim⁡n→∞f(xn)=A\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x) =A \quad \Longleftrightarrow \quad \forall\left\{x_{n}\right\}， x_{n} \rightarrow a ，则\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=Ax→alim​f(x)=A⟺∀{xn​}，xn​→a，则 n→∞lim​f(xn​)=A

二、函数极限的性质、运算法则和判别法

01 性质

(1) 唯一性

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to a}{\lim }f(x)=B,\Rightarrow A=B$

(2) 局部有界性

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\Rightarrow \exists \delta >0,M>0:|f(x)|\le M,(x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ))$

(3) 局部保号性

• 表述01
  • $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A>0\Rightarrow \exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),f(x)>\frac{A}{2}(>0)$
• 表述02
  • 由表述01重写得
  • $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A>0\Rightarrow \exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),f(x)>0$​​
  • $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A<0\Rightarrow \exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),f(x)<0$
• 表述03
  • 若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A>0$ ，那么 $\forall A^{\prime }\in (0,A),\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),$ 有 $f(x)>A^{\prime }$
  • 若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A<0$ ，那么 $\forall A^{\prime }\in (A,0),\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),$ 有 $f(x)<A^{\prime }$
• 局部保号性的推论
  • 由表述02-②取逆否命题有
  • 若 $\exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),$ 有 $f(x)\ge 0$，那么$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\ge 0$

(4) 局部保序性

• 若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A，\underset{x\to a}{\lim }g(x)=B，A>B$​ ，那么 $\exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),$​ 有 $f(x)>g(x)$​
• 局部保序性的特殊情况
  • 当 $g(x)=0$​​​ 时，有以下结论：
    • 若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A>0$​​​ ，那么 $\exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),$​​​ 有 $f(x)>0$​
    • 若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A<0$​​​ ，那么 $\exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),$​​​ 有 $f(x)<0$​
  • 将该结论②取逆否命题，有：
    • 若 $\exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),$​​​​ 有 $f(x)\ge 0$​​​​，那么$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\ge 0$​​​​
    • 此即局部保号性的推论，殊途同归

(5) 局部保不等式性

• 若 $\exists \delta >0,\forall x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta ),\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A，\underset{x\to a}{\lim }g(x)=B，f(x)>g(x)$ ，那么有 $A>B$

02 运算法则

(1) 六则运算

若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=B,h(x)$ 有界，则：

• 加减运算

  • $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$

• 乘法运算与幂运算

  • $\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)=AB,\underset{x\to a}{\lim }{f}^m(x)=A^m$ $\underset{x\to a}{\lim }f(x)h(x)=0,(A=0)$

• 除法运算

  • $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

• 开方运算

  • ${\lim }_{x\to a}\sqrt[m]{f(x)}=\sqrt[m]{A}\left(\begin{array}{l}f(x)\ge 0\text{ 时, }m\in N_{+}\\ f(x)\le 0\text{ 时, }m\text{ 为奇数 }\end{array}\right)$

(2) 复合运算法则

• 复合运算法则

  • $\begin{array}{rl}& \underset{u\to l}{\lim }f(u)=A,\underset{x\to a}{\lim }\phi (x)=l,\phi (x)\ne l(x\in \dot{U}(a))\\ & \Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }f(\phi (x))=A\end{array}$

• 复合运算法则意味着

  • $\begin{array}{c}\text{ 若 }\underset{x\to a}{\lim }\phi (x)=l,\phi (x)\ne l(x\in U(a)\text{ 时 }),\text{ 则 }\\ \underset{x\to a}{\lim }f(\phi (x))\stackrel{u=\phi (x)}{=}\underset{u\to l}{\lim }f(u)\end{array}$

• 极限运算中可以作变量代换

03 极限存在判别法

• 夹逼准则

  • $\begin{array}{rl}& \text{ 在 }U(a)\text{ 内, }g(x)\le f(x)\le h(x)\\ & \text{ 且 }\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=A\end{array}\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$

• 单调有界函数单侧极限存在定理

  • 定理：在 $(a-\delta ,a)$​ 内, $f(x)$​ 单调有界, 则 $f(x)$​ 在 $a$​ 点的 左极限 $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$​ 存在
  • 注意，在 $a$​ 点右侧有类似的结论
  • 为什么强调是单侧极限？ ==> 因为左右极限并不一定相等

三、两个重要的极限

01 重要极限一：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

• 引理

  • 当 $0<|x|<\frac{\pi }{2}$ 时, $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

• 利用几何图形
  

• 附带的结论：

  • $|\sin x|\le |x|$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$

02 重要极限二：$\underset{x\to 0}{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

• 利用夹逼定理和$\underset{n\to 0}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$
• 记 $n=[x]$, 当 $x>1$ 时有 $n\le x<n+1$
• $x\to -\infty$ 时, 作变换 $y=-x$
• 利用简单的变换，立刻得到 $\underset{x\to 0}{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x$
• 如果联系复合函数的极限就得到：
  • 若当 $x\to a$ 时, $\Delta \to 0$, 则 $\frac{\sin \Delta }{\Delta }\to 1(1+\Delta {)}^{\frac{1}{\Delta }}\to \mathrm{e}$

四、无穷小的比较

01 比较

• 无穷小比较的概念
  • 设 $\underset{x\to a}{\lim }\alpha (x)=0,\underset{x\to a}{\lim }\beta (x)=0$, 且 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=l$
  • 当 $l=0$ 时, 称 $x\to a$ 时 $\beta (x)$ 是比 $\alpha (x)$ 高阶的无穷小，记为：$\beta (x)=o(\alpha (x)),x\to a$
  • 当 $l\ne 0$ 时, 称 $x\to a$ 时 $\beta (x)$ 是与 $\alpha (x)$ 同阶的无穷小
  • 特别 $l=1$ 时, 称 $x\to a$ 时 $\beta (x)$ 是 $\alpha (x)$ 等价的无穷小，记为：$\beta (x)\sim \alpha (x),x\to a$
• 命题
  • 当 $x\to a$ 时，$\alpha (x)\sim \beta (x)\iff \alpha (x)-\beta (x)=O(\alpha (x))$

02 无穷小的阶

• 设 $\underset{x\to a}{\lim }\alpha (x)=\underset{x\to a}{\lim }\beta (x)=0$​​​，且 $\exists C\ne 0,k>0:$​​ $\beta (x)\sim C{\alpha }^k(x)$​ $(x\to a)$​​，​​​​​

  则称当 $x\to a$​ 时， $\beta (x)$​ 是 $\alpha (x)$​ 的 $k$​ 阶无穷小， $C{\alpha }^k(x)$​ 称为 $\beta (x)$​​​ 的主部.

• 主部 ==> 主要部分 + 高阶无穷小

• 在无穷小进行运算或比较时, 常取一个形式简单的无穷小作为 “标准”

  • $x\to 0$ 时, 取 $x,x\to \infty$ 时, 取 $\frac{1}{x}$

03 利用等价无穷小替换求极限

求极限时，可将式子分子或分母的无穷小**因子**用等价无穷小替换

最后

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