高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第一节-定积分的概念

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本文介绍了定积分在质线质量、质点路程、曲边梯形面积等问题中的应用，阐述了定积分的定义、几何意义以及可积条件。通过分割、求和、极限的过程，展示了如何求解分布不均匀量的积分问题。同时，讨论了可积函数的特性，如狄利克雷函数作为不可积函数的例子。此外，提到了函数可积的必要和充分条件。

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高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分

第一节定积分的概念

一、实际背景

01 质线的质量

问题描述
- 质线位于 $x$ 轴上 $[a, b]$ ，线密度为 $μ (x)$ ，那么质线的质量 $m =$ ?
- 图示
- 若 $μ =$ 常数，则 $m = μ (b － a)$ .
- 若 $μ$ 不一定为常数，怎么求？
求解过程
- (1) 分成 $n$ 个小段
  分点 $a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b$ 小区间 $[xi−1,xi]\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 的长度 $Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$
  
  (2) 求近似质量
  每一小段质量 $Δmi≈μ(ξi)Δxi,ξi∈[xi−1,xi]\Delta m_{i} \approx \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}, \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$
  总质量近似值 $m=∑i=1nμ(ξi)Δxim=\sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}$
  
  (3) 求质量
  小区间最大长度 $λ=max⁡1≤i≤nΔxi\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}$ ，则 $m=lim⁡λ→0∑i=1nΔmim=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} \Delta m_{i}$
- 求此质量的三个步骤：分割、求和、求极限

02 质点运动的路程

问题描述
- 质点运动从时间 $t = a$ 到 $t = b$ , 速度为 $v (t)$ , 路程 $=$ ?
- 若 $v =$ 常数，则路程 $S = v (b - a)$
- 若 $v$ 不一定为常数 ,怎么求？
求解过程
- (1) 分割
  分 $[a, b]$ 为小区间, 分点为 $a=t0<t1<t2<⋯<tn=ba=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}=b$ , 而 $Δti=ti−ti−1\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}$
  
  (2) 求和
  路程近似值 $∑i=1nv(ξi)Δtiξi∈[ti−1,ti]\sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \xi_{i} \in\left[t_{i-1}, t_{i}\right]$
  
  (3) 求极限
  $S=lim⁡λ→0∑i=1nv(ξi)Δtiλ=max⁡1≤i≤nΔtiS=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta t_{i}$

03 曲边梯形的面积

问题描述
- 若 $\geqslant 0(a \leq x \leq b)$ , 由曲线 $y = f (x)$ ，直线 $x = a$ , $x = b$ 及 $x$ 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 $A =$ ?
- 若 $f =$ 常数，则面积 $A = f (b - a)$
- 若 $f$ 不一定为常数 ,怎么求？
求解过程
- (1) 分割
  
  分 $[a, b]$ 为小区间, 分点为 $a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b$ , 而 $Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$
  
  (2) 求和
  面积近似值 $∑i=1nf(ξi)Δxiξi∈[xi−1,xi]\sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$
  
  (3) 求极限
  $A=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxiλ=max⁡1≤i≤nΔxiA=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}$

04 引例总结

求在某区间上的分布不均匀的量，通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到（分割—>近似—>求和—>取极限）

二、定积分的定义

定积分的定义
- $f (x)$ 定义在 $[a, b]$ ，任分 $[a, b]$ 为小区间, 分点 $a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b$ ，称为 $[a, b]$ 的一个分划.
- 若 $∃I∈R\exists I \in \mathbf{R}$ , 对 $[a, b]$ 的任何分划和 $∀ξi∈[xi−1,xi]\forall \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 所作和 $∑i=1nf(ξi)Δxi\sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}$ ，均有
  
  $lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=I(λ=max⁡1≤i≤nΔxi)\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=I \quad\left(\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}\right)$ ，
  
  则称 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 可积，记为 $\in R[a, b]$ ， $I$ 称为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 的定积分，记为 $I=∫abf(x)dxI=\int_{a}^{b} f(x) d x$ .
- 对于定积分 $I=∫abf(x)dxI=\int_{a}^{b} f(x) d x$ ， $b$ 称为积分上限， $a$ 称为积分下限， $x$ 称为积分变量， $d x$ 称为积分微元.
关于定义的说明
- 定积分的值与积分变量的选取无关
  
  $∫abf(x)dx=∫abf(u)du\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(u) d u$

三、定积分的几何意义

曲边图形面积的代数和

四、常见可积函数与不可积函数

可积函数
- $C [a, b]$ 类函数
- 在 $[a, b]$ 有界且仅有有限个间断点的函数
- $[a, b]$ 上单调有界函数
不可积函数
- 举例：狄利克雷函数 $\begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}$

五、可积的条件

01 必要条件

可积的必要条件
- 可积函数必有界
说明
- 无界不可积
- 有界不一定可积（狄利克雷函数）

02 充分条件

若连续，则可积
除有限点外连续，则可积
有定义且单调，则可积

最后

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