高等数学笔记-乐经良
第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分
第一节 定积分的概念
一、实际背景
01 质线的质量
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问题描述
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质线位于xxx轴上[a,b][a,b][a,b],线密度为μ(x)μ(x)μ(x),那么质线的质量 m=m=m=?
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图示
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若 μ=μ=μ= 常数,则 m=μ(b-a)m =μ(b- a)m=μ(b-a).
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若 μμμ 不一定为常数,怎么求?
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求解过程
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(1) 分成 nnn 个小段
分点 a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=ba=x0<x1<x2<⋯<xn=b 小区间 [xi−1,xi]\left[x_{i-1}, x_{i}\right][xi−1,xi] 的长度 Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}Δxi=xi−xi−1(2) 求近似质量
每一小段质量 Δmi≈μ(ξi)Δxi,ξi∈[xi−1,xi]\Delta m_{i} \approx \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}, \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]Δmi≈μ(ξi)Δxi,ξi∈[xi−1,xi]
总质量近似值 m=∑i=1nμ(ξi)Δxim=\sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}m=∑i=1nμ(ξi)Δxi(3) 求质量
小区间最大长度λ=max1≤i≤nΔxi\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}λ=1≤i≤nmaxΔxi,则 m=limλ→0∑i=1nΔmim=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} \Delta m_{i}m=λ→0limi=1∑nΔmi -
求此质量的三个步骤:分割、求和、求极限
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02 质点运动的路程
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问题描述
- 质点运动从时间 t=at=at=a 到 t=bt=bt=b, 速度为 v(t)v(t)v(t), 路程 === ?
- 若v=v =v=常数,则路程 S=v(b−a)S =v(b- a)S=v(b−a)
- 若vvv不一定为常数 ,怎么求?
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求解过程
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(1) 分割
分 [a,b][a, b][a,b] 为小区间, 分点为a=t0<t1<t2<⋯<tn=ba=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}=ba=t0<t1<t2<⋯<tn=b, 而 Δti=ti−ti−1\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}Δti=ti−ti−1(2) 求和
路程近似值 ∑i=1nv(ξi)Δtiξi∈[ti−1,ti]\sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \xi_{i} \in\left[t_{i-1}, t_{i}\right]i=1∑nv(ξi)Δtiξi∈[ti−1,ti](3) 求极限
S=limλ→0∑i=1nv(ξi)Δtiλ=max1≤i≤nΔtiS=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta t_{i}S=λ→0limi=1∑nv(ξi)Δtiλ=1≤i≤nmaxΔti
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03 曲边梯形的面积
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问题描述
- 若 f(x)⩾0(a≤x≤b)f(x) \geqslant 0(a \leq x \leq b)f(x)⩾0(a≤x≤b), 由曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x),直线 x=ax=ax=a, x=bx=bx=b 及 xxx 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 A=A=A= ?
- 若 f=f =f= 常数,则面积 A=f(b−a)A =f(b- a)A=f(b−a)
- 若 fff 不一定为常数 ,怎么求?
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求解过程
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(1) 分割
分 [a,b][a, b][a,b]为小区间, 分点为 a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=ba=x0<x1<x2<⋯<xn=b, 而 Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}Δxi=xi−xi−1
(2) 求和
面积近似值 ∑i=1nf(ξi)Δxiξi∈[xi−1,xi]\sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]i=1∑nf(ξi)Δxiξi∈[xi−1,xi](3) 求极限
A=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxiλ=max1≤i≤nΔxiA=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}A=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxiλ=1≤i≤nmaxΔxi
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04 引例总结
求在某区间上的分布不均匀的量,通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到(分割—>近似—>求和—>取极限)
二、定积分的定义
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定积分的定义
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f(x)f(x)f(x) 定义在 [a,b][a, b][a,b],任分 [a,b][a, b][a,b] 为小区间, 分点a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=ba=x0<x1<x2<⋯<xn=b,称为 [a,b][a, b][a,b] 的一个分划.
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若 ∃I∈R\exists I \in \mathbf{R}∃I∈R, 对 [a,b][a, b][a,b] 的任何分划和 ∀ξi∈[xi−1,xi]\forall \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]∀ξi∈[xi−1,xi] 所作和 ∑i=1nf(ξi)Δxi\sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}i=1∑nf(ξi)Δxi,均有
limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=I(λ=max1≤i≤nΔxi)\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=I \quad\left(\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}\right)λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=I(λ=1≤i≤nmaxΔxi),
则称 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 可积,记为 f∈R[a,b]f \in R[a, b]f∈R[a,b],III 称为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 的定积分,记为 I=∫abf(x)dxI=\int_{a}^{b} f(x) d xI=∫abf(x)dx .
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对于定积分 I=∫abf(x)dxI=\int_{a}^{b} f(x) d xI=∫abf(x)dx,bbb 称为积分上限,aaa 称为积分下限,xxx 称为积分变量,dxdxdx 称为积分微元.
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关于定义的说明
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定积分的值与积分变量的选取无关
∫abf(x)dx=∫abf(u)du\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(u) d u∫abf(x)dx=∫abf(u)du
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三、定积分的几何意义
- 曲边图形面积的代数和
四、常见可积函数与不可积函数
- 可积函数
- C[a,b]C[a,b]C[a,b] 类函数
- 在 [a,b][a,b][a,b] 有界且仅有有限个间断点的函数
- [a,b][a,b][a,b] 上单调有界函数
- 不可积函数
- 举例:狄利克雷函数 D(x)={1x 为有理数 0x 为无理数 D(x)= \begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}D(x)={10x 为有理数 x 为无理数
五、可积的条件
01 必要条件
- 可积的必要条件
- 可积函数必有界
- 说明
- 无界不可积
- 有界不一定可积(狄利克雷函数)
02 充分条件
- 若连续,则可积
- 除有限点外连续,则可积
- 有定义且单调,则可积
最后
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