高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第一节-定积分的概念

本文介绍了定积分在质线质量、质点路程、曲边梯形面积等问题中的应用,阐述了定积分的定义、几何意义以及可积条件。通过分割、求和、极限的过程,展示了如何求解分布不均匀量的积分问题。同时,讨论了可积函数的特性,如狄利克雷函数作为不可积函数的例子。此外,提到了函数可积的必要和充分条件。

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高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分

第一节 定积分的概念

一、实际背景

01 质线的质量
  • 问题描述

    • 质线位于xxx轴上[a,b][a,b][a,b],线密度为μ(x)μ(x)μ(x)​,那么质线的质量 m=m=m=​?​

    • 图示
      在这里插入图片描述

    • μ=μ=μ=​ 常数,则 m=μ(b-a)m =μ(b- a)m=μ(ba).

    • μμμ 不一定为常数,怎么求?

  • 求解过程

    • (1) 分成 nnn 个小段
      分点 a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=ba=x0<x1<x2<<xn=b 小区间 [xi−1,xi]\left[x_{i-1}, x_{i}\right][xi1,xi] 的长度 Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}Δxi=xixi1

      (2) 求近似质量
      每一小段质量 Δmi≈μ(ξi)Δxi,ξi∈[xi−1,xi]\Delta m_{i} \approx \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}, \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]Δmiμ(ξi)Δxi,ξi[xi1,xi]
      总质量近似值 m=∑i=1nμ(ξi)Δxim=\sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}m=i=1nμ(ξi)Δxi

      (3) 求质量
      小区间最大长度λ=max⁡1≤i≤nΔxi\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}λ=1inmaxΔxi​,则 m=lim⁡λ→0∑i=1nΔmim=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} \Delta m_{i}m=λ0limi=1nΔmi

    • 求此质量的三个步骤:分割、求和、求极限

02 质点运动的路程
  • 问题描述

    • 质点运动从时间 t=at=at=at=bt=bt=b, 速度为 v(t)v(t)v(t), 路程 ===​ ?
    • v=v =v=​常数,则路程 S=v(b−a)S =v(b- a)S=v(ba)
    • vvv不一定为常数 ,怎么求?
  • 求解过程

    • (1) 分割
      [a,b][a, b][a,b] 为小区间, 分点为a=t0<t1<t2<⋯<tn=ba=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}=ba=t0<t1<t2<<tn=b, 而 Δti=ti−ti−1\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}Δti=titi1

      (2) 求和
      路程近似值 ∑i=1nv(ξi)Δtiξi∈[ti−1,ti]\sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \xi_{i} \in\left[t_{i-1}, t_{i}\right]i=1nv(ξi)Δtiξi[ti1,ti]

      (3) 求极限
      S=lim⁡λ→0∑i=1nv(ξi)Δtiλ=max⁡1≤i≤nΔtiS=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta t_{i}S=λ0limi=1nv(ξi)Δtiλ=1inmaxΔti

03 曲边梯形的面积
  • 问题描述

    • f(x)⩾0(a≤x≤b)f(x) \geqslant 0(a \leq x \leq b)f(x)0(axb), 由曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x),直线 x=ax=ax=a, x=bx=bx=bxxx 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 A=A=A= ?
    • f=f =f=​ 常数,则面积 A=f(b−a)A =f(b- a)A=f(ba)
    • fff 不一定为常数 ,怎么求?
  • 求解过程

    • (1) 分割

      ​ 分 [a,b][a, b][a,b]为小区间, 分点为 a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=ba=x0<x1<x2<<xn=b, 而 Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}Δxi=xixi1

      (2) 求和
      面积近似值 ∑i=1nf(ξi)Δxiξi∈[xi−1,xi]\sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]i=1nf(ξi)Δxiξi[xi1,xi]

      (3) 求极限
      A=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxiλ=max⁡1≤i≤nΔxiA=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}A=λ0limi=1nf(ξi)Δxiλ=1inmaxΔxi

04 引例总结

求在某区间上的分布不均匀的量,通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到(分割—>近似—>求和—>取极限)

二、定积分的定义

  • 定积分的定义

    • f(x)f(x)f(x)​ 定义在 [a,b][a, b][a,b]​,任分 [a,b][a, b][a,b]​ 为小区间, 分点a=x0<x1<x2<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=ba=x0<x1<x2<<xn=b​,称为 [a,b][a, b][a,b]​​​ 的一个分划.

    • ∃I∈R\exists I \in \mathbf{R}IR​​​, 对 [a,b][a, b][a,b]​​​ 的任何分划和 ∀ξi∈[xi−1,xi]\forall \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]ξi[xi1,xi]​​​ 所作和 ∑i=1nf(ξi)Δxi\sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}i=1nf(ξi)Δxi​​​,均有

      lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=I(λ=max⁡1≤i≤nΔxi)\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=I \quad\left(\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}\right)λ0limi=1nf(ξi)Δxi=I(λ=1inmaxΔxi)

      则称 f(x)f(x)f(x)​​​ 在 [a,b][a, b][a,b]​​​ 可积,记为 f∈R[a,b]f \in R[a, b]fR[a,b]III​ 称为 f(x)f(x)f(x)​ 在 [a,b][a, b][a,b]​ 的定积分,记为 I=∫abf(x)dxI=\int_{a}^{b} f(x) d xI=abf(x)dx​​​ .

    • 对于定积分 I=∫abf(x)dxI=\int_{a}^{b} f(x) d xI=abf(x)dx​,bbb​​ 称为积分上限,aaa​ 称为积分下限,xxx​ 称为积分变量,dxdxdx​​ 称为积分微元.

  • 关于定义的说明

    • 定积分的值与积分变量的选取无关

      ∫abf(x)dx=∫abf(u)du\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(u) d uabf(x)dx=abf(u)du​ ​

三、定积分的几何意义

  • 曲边图形面积的代数和
  • 在这里插入图片描述

四、常见可积函数与不可积函数

  • 可积函数
    • C[a,b]C[a,b]C[a,b]​ 类函数
    • [a,b][a,b][a,b] 有界且仅有有限个间断点的函数
    • [a,b][a,b][a,b]​ 上单调有界函数
  • 不可积函数
    • 举例:狄利克雷函数 D(x)={1x 为有理数 0x 为无理数 D(x)= \begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}D(x)={10x 为有理数 x 为无理数 

五、可积的条件

01 必要条件
  • 可积的必要条件
    • 可积函数必有界
  • 说明
    • 无界不可积
    • 有界不一定可积(狄利克雷函数)
02 充分条件
  • 若连续,则可积
  • 除有限点外连续,则可积
  • 有定义且单调,则可积

最后

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