高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第二节-定积分的性质

这篇笔记详细介绍了定积分的性质,包括线性性质、与被积函数和积分区间的相关性质、保序性以及绝对可积性。同时阐述了积分中值定理,如第一中值定理和第二中值定理,并讨论了定积分的积分法,如换元法和分部积分法。这些内容对于理解积分的理论基础和实际应用至关重要。

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高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分

第二节 定积分的性质

一、与被积函数有关的性质

  • ∫ab1dx=∫abdx=b−a\int_{a}^{b} 1 d x = \int_{a}^{b} dx = b-aab1dx=abdx=ba

  • 线性性质

    f(x)∈R[a,b],g(x)∈R[a,b]f(x) \in R[a, b], g(x) \in R[a, b]f(x)R[a,b],g(x)R[a,b]∀α,β∈R,αf(x)+βg(x)∈R[a,b]\forall \alpha, \beta \in \mathbf{R}, \alpha f(x)+\beta g(x) \in R[a, b]α,βR,αf(x)+βg(x)R[a,b]

    ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)] d x=\alpha \int_{a}^{b} f(x) d x+\beta \int_{a}^{b} g(x) d xab[αf(x)+βg(x)]dx=αabf(x)dx+βabg(x)dx​ .​

  • ∫abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dxabf(x)dx​ 与 f(x)f(x)f(x)​ 在有限个点的函数值无关

二、与积分区间有关的性质

  • 乘积可积性

    f(x)f(x)f(x)[a,b][a,b][a,b] 上可积,则 f(x)f(x)f(x)[a,b][a,b][a,b] 的任何子区间上可积。

  • 规定

    ∫aaf(x)dx=0∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx\int_{a}^{a} f(x) d x=0 \quad \int_{b}^{a} f(x) d x=-\int_{a}^{b} f(x) d xaaf(x)dx=0baf(x)dx=abf(x)dx

  • 区间分割性质

    a≤b≤ca \leq b \leq cabc,则 $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx +\int_{c}^{b} f(x) dx $​​​​ ​.

    a,b,ca,b,ca,b,c 大小关系任意,该性质仍成立。

三、与不等式相关的性质

  • 保序性:f(x)⩾g(x)⇒∫abf(x)dx⩾∫abg(x)dxf(x) \geqslant g(x) \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) d x \geqslant \int_{a}^{b} g(x) d xf(x)g(x)abf(x)dxabg(x)dx

    • 推论1:f(x)⩾0⇒∫abf(x)dx⩾0f(x) \geqslant 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) d x \geqslant 0f(x)0abf(x)dx0
    • 推论2:m⩽f(x)⩽M⇒m(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M(b−a)m \leqslant f(x) \leqslant M \Rightarrow m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b} f(x) d x \leqslant M(b-a)mf(x)Mm(ba)abf(x)dxM(ba)
  • ∀x∈[a,b]\forall x \in [a,b]x[a,b]f(x)⩾0f(x) \geqslant 0f(x)0,且存在 x0∈[a,b]x_0 \in [a,b]x0[a,b],使得 f(x0)>0f(x_0)>0f(x0)>0f(x)f(x)f(x)x0x_0x0 连续,

    ∫abf(x)dx>0\int_{a}^{b}f(x)dx>0abf(x)dx>0​​ .​​​

  • 绝对可积性(本质是三角不等式的推广)

    f(x)f(x)f(x)[a,b][a, b][a,b] 上可积,则 ∣f(x)∣|f(x)|f(x) 也在 [a,b][a, b][a,b] 上可积,且 ∣∫abf(x)dx∣⩽∫ab∣f(x)∣dx\left|\int_{a}^{b} f(x) dx\right| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)| dxabf(x)dxabf(x)dx

四、积分中值定理

01 积分第一中值定理

(1) 一般形式(平均值定理)

f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a, b]f(x)C[a,b],则至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ[a,b],使 ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)abf(x)dx=f(ξ)(ba) .

(2) 推广形式

f(x)∈C[a,b],g(x)∈R[a,b],g(x)f(x) \in C[a, b], g(x) \in R[a, b], g(x)f(x)C[a,b],g(x)R[a,b],g(x)[a,b][a, b][a,b]上不变号,至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ[a,b]

使 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx=f(a)\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) d x=f(a)abf(x)g(x)dx=f(ξ)abg(x)dx=f(a)​ .

02 积分第二中值定理

(1) 一般形式

如果函数 f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在闭区间 [a,b][a, b][a,b] 上可积,且 f(x)f(x)f(x) 为单调函数,

则在积分区间 [a,b][a, b][a,b] 上至少存在一个点 ε\varepsilonε,使下式成立:
∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) d x+f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) d x abf(x)g(x)dx=f(a)aξg(x)dx+f(b)ξbg(x)dx
(2) 退化态形式

令一般形式中的 g(x)=1g(x)=1g(x)=1,在积分区间 [a,b][a, b][a,b] 上至少存在一个点 ξ\xiξ

使下式成立:
∫abf(x)g(x)dx=f(a)(ξ−a)+f(b)(b−ξ) \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) (\xi-a)+f(b) (b-\xi) abf(x)g(x)dx=f(a)(ξa)+f(b)(bξ)
(3) 推广形式

f(x)f(x)f(x)[a,b][a, b][a,b] 上可积,考虑下列两种情况:

​ ① g(x)g(x)g(x)[a,b][a, b][a,b] 上单调递减且在 x∈[a,b]x \in[a, b]x[a,b] 时, g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)0

​ 那么存在 ξ∈[a,b]\xi \in[a, b]ξ[a,b] 使得 ∫abf(x)g(x)dx=g(a)∫aξf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) d xabf(x)g(x)dx=g(a)aξf(x)dx.

​ ② g(x)g(x)g(x)[a,b][a, b][a,b] 上单调递增且在 x∈[a,b]x \in[a, b]x[a,b] 时, g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)0

​ 那么存在 ξ∈[a,b]\xi \in[a, b]ξ[a,b] 使得 ∫abf(x)g(x)dx=g(b)∫ξbf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) d xabf(x)g(x)dx=g(b)ξbf(x)dx.

五、定积分的积分法

01 定积分的换元法
(1) 定积分遵循第一二换元法的表述
① 定积分的第一换元法

凑微分法(条件与不定积分有区别

∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) d x=F(x)+Cf(x)dx=F(x)+Cfffφ′\varphi^{\prime}φ 连续,则 ∫abf(φ(x))φ′(x)dx=F(φ(x))∣ab\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=\left.F(\varphi(x))\right|_{a} ^{b}abf(φ(x))φ(x)dx=F(φ(x))ab .

② 定积分的第二换元法

第二换元法

f(x)∈C[a,b],ψ′f(x) \in C[a, b], \psi^{\prime}f(x)C[a,b],ψ 连续,ψ(α)=a,ψ(β)=b\psi(\alpha)=a, \psi(\beta)=bψ(α)=a,ψ(β)=b

tttα,β\alpha, \betaα,β 之间时,ψ(t)∈[a,b]\psi(t) \in[a, b]ψ(t)[a,b],则 ∫abf(x)dx=∫αβf(ψ(t))ψ′(t)dt\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} f(\psi(t)) \psi^{\prime}(t) d tabf(x)dx=αβf(ψ(t))ψ(t)dt .

(2) 定积分总结为一种换元法的表述

换元积分法

同济表述:

假设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b][a,b] 上连续,函数 x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) 满足条件:

(1) φ(α)=a,φ(β)=b\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=bφ(α)=a,φ(β)=b

(2) φ(t)\varphi(t)φ(t)[α,β][\alpha, \beta][α,β] (或 [β,α])[\beta, \alpha])[β,α]) 上具有连续导数,且其值域 Rφ=[a,b]R_{\varphi}=[a, b]Rφ=[a,b],则有:
∫abf(x)dx=∫aβf[φ(t)]φ′(t)dt. \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t . abf(x)dx=aβf[φ(t)]φ(t)dt.
上述公式称做定积分的换元公式。

武忠祥表述:

f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上连续, 函数 x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) 满足以下条件:

(1) φ(α)=a,φ(β)=b\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=bφ(α)=a,φ(β)=b

(2) φ(t)\varphi(t)φ(t)[α,β][\alpha, \beta][α,β]( 或 [β,α][\beta, \alpha][β,α] )上有连续导数,且 Rφ⊆IR_{\varphi} \subseteq IRφI,则:
∫abf(x)dx=∫aβf(φ(t))φ′(t)dt. \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t . abf(x)dx=aβf(φ(t))φ(t)dt.

02 定积分的分部积分法
  • 分部积分法
    • u′,v′∈C[a,b]⇒u^{\prime}, v^{\prime} \in C[a, b] \Rightarrowu,vC[a,b] ∫abuv′dx=uv∣ab−∫u′vdx\int_{a}^{b} u v^{\prime} d x=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int u^{\prime} v d xabuvdx=uvabuvdx
  • 过程
    • ∫abuv′dx⇒∫abudv=uv∣ab−∫abvdu⇒uv∣ab−∫u′vdx\int_{a}^{b} u v^{\prime} d x \Rightarrow \int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u \Rightarrow \left.u v\right|_{a} ^{b}-\int u^{\prime} v d xabuvdxabudv=uvababvduuvabuvdx

最后

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