高等数学笔记：三重积分下的坐标系变换

最新推荐文章于 2025-08-30 17:37:55 发布

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#学习

本文详细解析了柱面坐标和球面坐标的三重积分变换，包括变量代换、投影分析和实际问题的应用，重点讲解了如何将立体积分转化为极坐标下的累次积分，并通过实例演示了球面坐标系在处理球体和锥面问题中的优势。

繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

三重积分下的坐标系变换

一、柱面坐标系下的计算

在这里插入图片描述

01 柱面坐标的变量代换

这个坐标系实际上就是 $x y$ 坐标转变为极坐标，即变换公式为 $x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=z\left\{\begin{array}{c}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z\end{array}\right.$

由于雅可比行列式满足：
$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -r \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=r$
得到柱面坐标积分公式：
$\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z$
注意，事实上，在具体计算时，可以用柱线法或截面法得到 $D$ ( 或 $D_z$ ) 的二重积分，再转化为极坐标。

02 柱面坐标的投影法分析

若被积函数含有 $x^2+y^2$ 或立体 $V$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。

令 $z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}$ ，称为柱面坐标变换，其本质为平面上的极坐标变换。

下面用投影法推导分析：
$\begin{aligned} & 设立体V:z_1(x,y)\leqslant z\leqslant z_1(x,y)\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (x,y)\in\sigma\\ & \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iint \limits_{\sigma} [\ \int _{z_1(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz\ ] dxdy\\ & 对此二重积分进行极坐标变换，\\ & 所谓的柱面坐标变换，本质就是平面极坐标变换\\ & x=r\cos\theta \ , \ y=r\sin\theta\\ & 若\ \sigma\ 为\ \theta\ 型区域，则\ \sigma\ : \ r_1(\theta)\leqslant r\leqslant r_2(\theta)\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta\\ & 原三重积分=\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}[\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ ]\ rdr\\ & \quad\quad\quad\quad\ =\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ dz\\ \end{aligned}$