高等数学笔记：三重积分下的坐标系变换

最新推荐文章于 2024-12-01 19:22:56 发布

野原星月

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本文详细解析了柱面坐标和球面坐标的三重积分变换，包括变量代换、投影分析和实际问题的应用，重点讲解了如何将立体积分转化为极坐标下的累次积分，并通过实例演示了球面坐标系在处理球体和锥面问题中的优势。

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繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

三重积分下的坐标系变换

一、柱面坐标系下的计算

在这里插入图片描述

01 柱面坐标的变量代换

这个坐标系实际上就是 $x y$ 坐标转变为极坐标，即变换公式为 ${x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=z\left\{\begin{array}{c}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z\end{array}\right.$

由于雅可比行列式满足：
$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -r \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=r$
得到柱面坐标积分公式：
$\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z$
注意，事实上，在具体计算时，可以用柱线法或截面法得到 $D$ ( 或 $D_z$ ) 的二重积分，再转化为极坐标。

02 柱面坐标的投影法分析

若被积函数含有 $x^2+y^2$ 或立体 $V$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。

令 $z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}$ ，称为柱面坐标变换，其本质为平面上的极坐标变换。

下面用投影法推导分析：
$\begin{aligned} & 设立体V:z_1(x,y)\leqslant z\leqslant z_1(x,y)\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (x,y)\in\sigma\\ & \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iint \limits_{\sigma} [\ \int _{z_1(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz\ ] dxdy\\ & 对此二重积分进行极坐标变换，\\ & 所谓的柱面坐标变换，本质就是平面极坐标变换\\ & x=r\cos\theta \ , \ y=r\sin\theta\\ & 若\ \sigma\ 为\ \theta\ 型区域，则\ \sigma\ : \ r_1(\theta)\leqslant r\leqslant r_2(\theta)\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta\\ & 原三重积分=\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}[\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ ]\ rdr\\ & \quad\quad\quad\quad\ =\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ dz\\ \end{aligned}$

03 柱面坐标变换总结

若 $∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V$ 存在，被积函数含有 $x^2+y^2$ 或立体 $V$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分（一般是圆周和直线围成的区域）。那么，令 $z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}$ ，且立体 $V$ 为 $x y$ 型区域，

则立体 $V$ 可表示为 $(x,y)∈σxy}V=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x)\ \ ,\ (x,y)\in\sigma_{xy} \right\}$ ，

然后将 $σ\sigma$ 写成 $θ\theta$ 型区域 $α⩽θ⩽β}\sigma=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta \right\}$ 。

下曲面 $z=z1(x,y)=z1(rcos⁡θ,rsin⁡θ)z=z_1(x,y)=z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)$ ，上曲面 $z=z2(x,y)=z2(rcos⁡θ,rsin⁡θ)z=z_2(x,y)=z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)$ ，

则 $dz\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}dr\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ r \ dz$ 。

若被积函数中含 $y^2+z^2$ 或立体 $V$ 在 $y O z$ 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。

那么，令 $x\begin{cases}\ y\ =\ r\cos\theta \\ \ z\ =\ r\sin\theta \\ \ x\ =\ \ \ \ x\end{cases}$ ，同理可推导类似结论。

二、球面坐标系下的计算

在这里插入图片描述

01 球面坐标的变量代换

设点 $M (x, y, z)$ 是空间一点，引进坐标 $(ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)$

$ρ=∥OM→∥\rho=\|\overrightarrow{O M}\|$ ， $φ:OM→\varphi: \overrightarrow{O M}$ 与z轴正向的夹角， $θ:OP→\theta: \overrightarrow{O P}$ 与 $x$ 轴正向的夹角，

且 $ρ\rho$ ， $φ\varphi$ ， $θ\theta$ 满足 $\leqslant \rho \leqslant+\infty\ \ ,\ \ 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi\ \ ,\ \ 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\ 或-\pi\leqslant\theta\leqslant\pi$ 。

坐标变换关系式 ${x=ρsin⁡φcos⁡θy=ρsin⁡φsin⁡θz=ρcos⁡φ\quad\Longrightarrow\ \left\{\begin{array}{c} x=\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z=\rho \cos \varphi \end{array}\right.$

这样建立的坐标系称为球面坐标系，得到的坐标 $(ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)$ 称为 $M$ 的球面坐标。
$\begin{aligned} & 由于雅可比行列式\ \ \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \varphi, \theta)} =\left|\begin{array}{ccc} \sin \varphi \cos \theta & \sin \varphi \sin \theta & \cos \varphi \\ \rho \cos \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & -\rho \sin \varphi \\ -\rho \sin \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta & 0 \end{array}\right| =\rho^{2} \sin \varphi\\ & 导出\ \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V =\iiint \limits_{\Omega^{*}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta \end{aligned}$
使用球坐标时， $ρ=\rho=$ 常数:球面， $φ=\varphi=$ 常数: 锥面， $θ=\theta=$ 常数: 平面，

且球面和锥面的中心在原点，平面过 $z$ 轴。

在这里插入图片描述

注意，围成区域的部分曲面有上述特点，或被积函数含 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，可考虑用球坐标。

02 球面坐标的二次柱面变换分析

若 $∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V$ 存在，被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 或立体 $V$ 是球体或者球体的一部分。

采用一组变换，首先，令 $z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}$ ，则 $x^2+y^2+z^2=r^2+z^2$ （看成 $zr\ ,\ \theta\ ,\ z$ 函数）

然后，令 $θ\begin{cases}\ r\ =\rho\sin\varphi \\ \ z\ =\rho\cos\varphi \\ \ \theta\ =\ \ \ \ \theta\end{cases}$ ，则 $x2+y2+z2=r2+z2=ρ2x^2+y^2+z^2=r^2+z^2=\rho^2$ 。

综上可以看作一次变换，令 $ρcos⁡φ\begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases}$ ，称为球面坐标变换，此时， $x2+y2+z2=ρ2x^2+y^2+z^2=\rho^2$ 。

这样建立的坐标系称为球面坐标系，得到的坐标 $(ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)$ 称为 $M$ 的球面坐标。

03 球面坐标系与球面坐标

球面坐标系与球面坐标一种记忆模式：

由 $ρcos⁡φ\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ r\ =\ \rho\sin\varphi \\ \ z\ =\ \rho\cos\varphi\end{cases}$ 有 $ρcos⁡φ\begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases}$ 称为球面坐标变换。

$ρ=Rx^2+y^2+z^2=\rho^2\ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\rho\ 且 \ x^2+y^2+z^2=R^2 \ \ \Rightarrow\ \ \rho=R$

球面坐标系与球面坐标代换总结：

若被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 或立体 $V$ 是球体或者球体的一部分，

一般是球面与锥面或球面与平面或锥面与平面围成的立体，用球面坐标变换。

04 球面坐标系下三个最简单的方程表示的曲面

$\begin{aligned} & (1)\ \rho=R\ \ (R\geqslant0，常数)\ 表示以\ O\ 点为心，\ R\ 为半径的球面 \ \Leftrightarrow\ \rho^2=R^2 \ \Leftrightarrow\ x^2+y^2+z^2=R^2 \\ & (2)\ \varphi=\varphi_0\ \ (0\leqslant\varphi_0\leqslant\pi，常数)\ 表示一个半锥面， Oz轴正向与锥面母线的夹角为\varphi_0\\ & \quad\quad该方程转化为空间直角坐标系为:x^2+y^2-z^2\tan^2\varphi_0=0\\ & (3)\ \theta=\theta_0\ \ (0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\ 或-\pi\leqslant\theta\leqslant\pi，常数)\ 表示\ yOz\ 右半平面 \\ & \quad\quad该方程转化为空间直角坐标系为:\theta=\frac{\pi}{2}\\ \end{aligned}$

05 球面坐标变换下的三重积分

在 $∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V$ 中，用球面坐标变换 $ρcos⁡φ\begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases}$ ，核心：寻找 $d V$ 和 $dρd\theta\ d\varphi\ d\rho$ 的关系。

本质：对三重积分式进行两次柱面坐标积分变换。

第一次变换，令 $z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}$ ，则 $dz\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V_{r\theta z}} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z)r\ d\theta\ dr\ dz$ 。

第二次变换，令 $θ\begin{cases}\ r\ =\rho\sin\varphi \\ \ z\ =\rho\cos\varphi \\ \ \theta\ =\ \ \ \ \theta\end{cases}$ ，则 $dρ\iiint \limits_{V_{r\theta z}} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z)r\ d\theta\ dr\ dz=\iiint \limits_{V_{\theta\varphi\rho}} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho\sin\varphi\cdot \rho\ d\theta\ d\varphi\ d\rho$ 。

综上，经过球面坐标变换， $dρ\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V_{\theta\varphi\rho}} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi\ d\theta\ d\varphi\ d\rho$ 。

要求上述积分化成球面坐标下的累次积分，先积 $ρ\rho$ ，其次积 $φ\varphi$ ，最后积 $θ\theta$ 。

即对 $∀M(ρ,φ,θ)∈V\forall M(\rho,\varphi,\theta)\in V$ ，将坐标用不等式表示， $α⩽θ⩽βV:\rho_1(\theta,\varphi)\leqslant\rho\leqslant\rho_2(\theta,\varphi)\\ \quad\ \ \varphi_1(\theta)\leqslant z\leqslant\varphi_2(\theta)\\ \quad\ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta$ （累次积分变换的核心），

则三重积分 $∭Vf(x,y,z)dV=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)φdφ∫ρ1(θ,φ)ρ1(θ,φ)f(ρsin⁡φcos⁡θ,ρsin⁡φsin⁡θ,ρcos⁡φ)ρ2sin⁡φdρ\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\varphi d\varphi \int_{\rho_1(\theta,\varphi)}^{\rho_1(\theta,\varphi)} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho$ .