高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第五节-积分法

最新推荐文章于 2025-12-13 20:17:14 发布

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#学习

本文介绍了高等数学中积分法的两大核心：凑微分法（第一换元法）与第二换元法，包括不定积分和定积分的应用，以及特殊函数的积分策略，如有理函数、无理函数和三角函数的积分技巧。还列举了关键公式和常见问题解决方案，适合学习者深入理解积分换元法的原理与应用。

高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分

第五节积分法

一、凑微分法（第一换元法）

01 不定积分的凑微分法

凑微分法
- 若 $∫f(x)dx=F(x)+C,φ(x)\int f(x) d x=F(x)+C, \varphi(x)$ 可导, 则 $∫f(φ(x))φ′(x)dx=F(φ(x))+C\int f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=F(\varphi(x))+C$
过程
- $∫f(φ(x))φ′(x)dx⇒∫f(φ(x))dφ(x)⇒F(φ(x))+C\int f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x \Rightarrow \int f(\varphi(x)) d \varphi(x) \Rightarrow F(\varphi(x))+C$
注意
- 观察哪部分可凑成 $φ′dx=dφ\varphi^{\prime} d x=d \varphi$ ，而使得微分号前剩下的部分恰好是 $φ\varphi$ 的可积表达式
常用的凑微分
- $φ′(x)dx=dφ(x)\varphi'(x)dx=d\varphi(x)$
- $∫f(ax+b)dx=1a∫f(ax+b)d(ax+b)\int f(ax+b)dx=\frac1a \int f(ax+b)d(ax+b)$
- $2xdx=dx^2$
- $c o s x d x = d s i n x$
- $sec2xdx=1cos2xdx=dtanxsec^2xdx=\frac{1}{cos^2x}dx=dtanx$

02 定积分的凑微分法

凑微分法（条件与不定积分有区别）

$∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) d x=F(x)+C$ ， $f$ 与 $φ′\varphi^{\prime}$ 连续，则 $∫abf(φ(x))φ′(x)dx=F(φ(x))∣ab\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=\left.F(\varphi(x))\right|_{a} ^{b}$ .

二、第二换元法

01 不定积分的第二换元法

第二换元法
- 若 $∫f(ψ(t))ψ′(t)dt=F(t)+C\int f(\psi(t)) \psi^{\prime}(t) d t=F(t)+C$ , 且 $ψ\psi$ 单调可导, $ψ′≠0\psi^{\prime} \neq 0$ ，则 $∫f(x)dx=F(ψ−1(x))+C\int f(x) d x=F\left(\psi^{-1}(x)\right)+C$
过程
- 对 $∫f(x)dx\int f(x) d x$ 作变量代换 $x=ψ(t)x=\psi(t)$
- $⇒∫f(ψ(t))ψ′(t)dt\Rightarrow \int f(\psi(t)) \psi^{\prime}(t) d t$ 可积
- $⇒F(t)+C\Rightarrow F(t)+C$
  $↑\uparrow$
  $t=ψ−1(x)t=\psi^{-1}(x)$

02 定积分的第二换元法

第二换元法
- $\in C[a, b], \psi^{\prime}$ 连续， $ψ(α)=a,ψ(β)=b\psi(\alpha)=a, \psi(\beta)=b$ ，
- 当 $t$ 在 $α,β\alpha, \beta$ 之间时， $ψ(t)∈[a,b]\psi(t) \in[a, b]$ ，则 $∫abf(x)dx=∫αβf(ψ(t))ψ′(t)dt\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} f(\psi(t)) \psi^{\prime}(t) d t$ .

三、定积分换元法的说明

01 定积分遵循第一二换元法的表述

(1) 定积分的第一换元法

凑微分法（条件与不定积分有区别）

(2) 定积分的第二换元法

第二换元法

$\in C[a, b], \psi^{\prime}$ 连续， $ψ(α)=a,ψ(β)=b\psi(\alpha)=a, \psi(\beta)=b$ ，

当 $t$ 在 $α,β\alpha, \beta$ 之间时， $ψ(t)∈[a,b]\psi(t) \in[a, b]$ ，则 $∫abf(x)dx=∫αβf(ψ(t))ψ′(t)dt\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} f(\psi(t)) \psi^{\prime}(t) d t$ .

02 定积分总结为一种换元法的表述

换元积分法

同济表述：

假设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x=φ(t)x=\varphi(t)$ 满足条件：

(1) $φ(α)=a,φ(β)=b\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b$ ；

(2) $φ(t)\varphi(t)$ 在 $[α,β][\alpha, \beta]$ (或 $[β,α])[\beta, \alpha])$

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