线性代数笔记：左/右乘列/行满秩，秩不变

最新推荐文章于 2025-11-23 13:45:13 发布

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#线性代数 #笔记

本文解释了在线性代数中，当矩阵A的列满秩时，左乘列向量保持秩不变，而行满秩则对应于矩阵转置后的列满秩。通过几何视角，展示了矩阵如何在特定基下表示向量，强调了秩不变这一核心概念。

左/右乘列/行满秩，秩不变

如何理解 左乘列满秩，右乘行满秩，秩不变 ？

几何解释

假如有线性方程组， $A B = C$ ，矩阵 $A$ 列满秩
矩阵 $A$ 的列向量就可以构成这个 $n$ 维空间的一组基
- 为什么？
- $k⃗]⋅[abc]=a⋅i⃗+b⋅j⃗+c⋅k⃗=v⃗\displaystyle{ \left[\begin{array}{lll} \vec{i} \ ,\ \vec{j} \ ,\ \vec{k} \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll} a \\ b \\ c \end{array}\right]= a\cdot\vec{i}+b\cdot\vec{j}+c\cdot\vec{k}=\vec{v} }$ .
- 将它代入到三维空间里理解，矩阵 $A$ 其实就是 $i⃗,j⃗,k⃗\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ .
- 这个角度的线性方程组，向量 $C$ 其实表示的是，在以矩阵 $A$ 的列向量构成的基下的向量 $B$ .
矩阵 $A$ 的列向量作为基底的例子
- $k⃗]⋅[123]=1⋅i⃗+2⋅j⃗+3⋅k⃗=(1,2,3)\displaystyle{ \left[\begin{array}{lll} \vec{i} \ ,\ \vec{j} \ ,\ \vec{k} \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]= 1\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}+3\cdot\vec{k}=(1,2,3) }$ .
- $k⃗=(0,0,1)\vec{i}=(1,0,0)\ ,\ \vec{j}=(0,1,0)\ ,\ \vec{k}=(0,0,1)$ .
- 比如这个东西， $(1, 2, 3)$ 其实就是 $C$ ，它表示的是 $B$ 这个向量在三维空间标准正交基下的一个向量
有了以上的结论之后，那么如果 $A$ 可以构成一组基， $B$ 就可以被完整的在这个空间中表示，

$B$ 的信息不会增加也不会缺损（前提是 $A$ 是列满秩的，只有 $A$ 列满秩才能构成全体空间的一组基）
这意味着，经过 $A$ 表示的 $B$ ，秩不会发生改变，即矩阵左乘列满秩，被乘矩阵的秩不变。
$B$ 本来是直线，被基表示后还是直线，本来是点，被表示后还是点

（当然前提还是 $A$ 必须能构成全体空间的基底）
行满秩做一个转置，然后同理可得就行
- 假设 $N$ 行满秩，则 $N^T$ 列满秩
- $MN=D⇒(MN)T=CT⇒NTMT=DTMN=D\Rightarrow (MN)^T=C^T\Rightarrow N^TM^T=D^T$ .
- 记 $N^T=A$ ， $M^T=B$ ， $D^T=C$ .
- $NTMT=DT⇒AB=CN^TM^T=D^T\Rightarrow AB=C$ . 同理可得.