高等数学笔记-乐经良老师-第一章-函数

高等数学笔记-乐经良老师

第一章 函数

第一节 实数集

一、集合

01 集合的概念
  • 具有某种属性的事物的全体称为集合
    • 事物—— a(元素)
    • 集合—— A
  • a 是 A 的元素: a∈A;a 不是 A 的元素: a∉A; a \text { 是 } A \text { 的元素: } a \in A ; a \text { 不是 } A \text { 的元素: } a \notin A \text {; }a  A 的元素aA;a 不是 A 的元素a/A
02 表示法
  • 列举
  • 说明属性
    • A={x∣ 使 x 属于 A 的属性 }A=\{x \mid \text { 使 } x \text { 属于 } A \text { 的属性 }\}A={x 使 x 属于 A 的属性 }
03 集合的运算
  • 并 (和) : A∪B(A+B)A \cup B(A+B)AB(A+B)
  • 交 (积) : A∩B(AB)A \cap B(A B)AB(AB)
  • 差 : A\BA \backslash BA\B

二、实数集

  • 实数集R:有理数集(Q) + 无理数集
  • 有理数集的特性
    • (1) 有序性
    • (2) 对加减乘除运算的封闭性(构成数域)
    • (3) 稠密性
      • 通过长度:有理数 —> 数轴上的点
        有理数 <— 数轴上的点? (2\sqrt{2}2
  • 实数集的特性:完备性(连续性)
    • 实数集拥有有理数集的所有特性(有序性、封闭性、稠密性)
    • 比有理数集多具备的一个特性:完备性
    • 实数 <=> 数轴上的点(一一对应)
    • 在极限运算下依然是封闭的

三、区间

  • 有界区间

    • a<ba<ba<b, 那么
      开区间 (a,b)={x∣a<x<b,x∈R}(a, b)=\{x \mid a<x<b, x \in \mathbf{R}\}(a,b)={xa<x<b,xR}
      闭区间 [a,b]={x∣a≤x≤b,x∈R}[a, b]=\{x \mid a \leq x \leq b, x \in \mathbf{R}\}[a,b]={xaxb,xR}
      半开闭区间 [a,b)=?,(a,b]=?[a, b)=?,(a, b]=?[a,b)=?,(a,b]=?
  • 无界区间

    • (−∞,b)={x∣x<b,x∈R}(−∞,+∞)=?,[a,+∞)=?\begin{aligned} &(-\infty, b)=\{x \mid x<b, x \in \mathbf{R}\} \\ &(-\infty,+\infty)=?,[a,+\infty)=? \end{aligned}(,b)={xx<b,xR}(,+)=?,[a,+)=?
  • 一般区间表示: III (大写英文字母)

  • 邻域

    • a∈R,δ>0a \in \mathbf{R}, \delta>0aR,δ>0, 则
      U(a,δ)=(a−δ,a+δ):aU(a, \delta)=(a-\delta, a+\delta): aU(a,δ)=(aδ,a+δ):aδ\deltaδ 邻域
      U0(a,δ)=(a−δ,a)⋃(a,a+δ)):a\stackrel{0}{U}(a, \delta)=(a-\delta, a) \bigcup(a, a+\delta)): aU0(a,δ)=(aδ,a)(a,a+δ)):a 的去心 δ\deltaδ 邻域

四、数学符号

一些常用的数学符号
∈\in:属于∉\notin/ :不属于
∀\forall : 任给、任意的∃\exists : 存在
⇒:\Rightarrow:⇒: 蕴含着, 必要条件⇐\Leftarrow : 源于, 充分条件
⇔\Leftrightarrow : 等价=def⁡\stackrel{\operatorname{def}}{=}=def 定义为
max⁡EE\max \mathrm{E} \quad \mathrm{E}maxEE 中最大者min⁡EE\min \mathrm{E} \quad \mathrm{E}minEE 中最小者
  • 用逻辑符号表达某些数学语言较简洁,例如命题:
    • 对任意一个实数 aaa,必定存在实数 bbb,使得 b>ab > ab>a
    • 可以表述为:
    • ∀a∈R , ∃ b∈R:b>a\forall a \in \mathbf{R}\ ,\ \exists\ b \in \mathbf{R}: b>aaR ,  bR:b>a

五、不等式

  • 绝对值不等式
    • ∣x−a∣<δ⇔a−δ<x<a+δ|x-a|<\delta \Leftrightarrow a-\delta<x<a+\deltaxa<δaδ<x<a+δ
    • ∣x−a∣<δ|x-a|<\deltaxa<δ:刻画 点 xxxaaa 的距离 <δ< \delta<δ
    • a−δ<x<a+δa-\delta<x<a+\deltaaδ<x<a+δ:刻画 xxx 在点 a−δa-\deltaaδa+δa+\deltaa+δ​ 之间
  • 基本不等式
    a2+b22⩾a+b2⩾ab⩾21a+1b平方平均⩾代数平均⩾几何平均⩾调和平均 \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geqslant \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b} \geqslant \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\ \text{平方平均} \geqslant \text{代数平均} \geqslant \text{几何平均} \geqslant \text{调和平均} 2a2+b22a+baba1+b12平方平均代数平均几何平均调和平均

  • 三角不等式
    • ∣x±y∣≤∣x∣+∣y∣,∣x−y∣≥∥x∣−∣y∥|x \pm y| \leq|x|+|y|, \quad|x-y| \geq\|x|-| y\|x±yx+y,xyxy
  • A-G不等式(算术平均-几何平均不等式)
    • x1,x2,⋯ ,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}x1,x2,,xn 均非负数
      x1+x2+⋯+xnn≥x1x2⋯xnn \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} nx1+x2++xnnx1x2xn

    • 算术平均 ≥\geq 几何平均

  • Bernoulli不等式(伯努利不等式)
    • x≥0x \geq 0x0, 且 nnn 为正整数, 则 (1+x)n≥1+nx(1+x)^{n} \geq 1+n x(1+x)n1+nx
    • 典例:证明 an−1≤a−1n(a>1)\sqrt[n]{a}-1 \leq \frac{a-1}{n} \quad(a>1)na1na1(a>1)

六、实数集的界

01 上界与下界
  • 上界
    • E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃M∈R\exists \mathrm{M} \in \mathbf{R}MR,
      ∀x∈E:x≤M\forall x \in \mathrm{E}: x \leq \mathrm{M}xE:xM, 称 M\mathrm{M}ME\mathrm{E}E 的一个上界.
    • 上界的等价表达:∃M>0,∀x∈E:∣x∣≤M\exists \mathrm{M}>0, \forall x \in \mathrm{E}:|x| \leq \mathrm{M}M>0,xE:xM
  • 下界
    • E\mathrm{E}E​ 为非空实数集, ∃m∈R\exists \mathrm{m} \in \mathbf{R}mR​,
      ∀x∈E:x≥N\forall x \in \mathrm{E}: x \geq \mathrm{N}xE:xN​, 称 N\mathrm{N}N​ 是 m\mathrm{m}m​​ 的一个上界.
    • 下界的等价表达:∃m>0,∀x∈E:∣x∣≥m\exists \mathrm{m}>0, \forall x \in \mathrm{E}:|x| \geq \mathrm{m}m>0,xE:xm
  • 有界
    • E\mathrm{E}E 既有上界又有下界称为有界的
02 上确界与下确界
  • 上确界
    • 通俗的说,即最小上界——怎样确切描述?
    • E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃β∈R\exists \beta \in \mathbf{R}βR,
      (1) ∀x∈E:x≤β\forall x \in \mathrm{E}: x \leq \betaxE:xβ——确保 β\betaβ 是上界
      (2) ∀δ>0,∃xδ∈E:xδ>β−δ\forall \delta>0, \exists x_{\delta} \in \mathrm{E}: x_{\delta}>\beta-\deltaδ>0,xδE:xδ>βδ——比 β\betaβ 小那么一点点就不是上界了
      β\betaβE\mathrm{E}E 的上确界.
  • 下确界
    • 最大下界
    • E\mathrm{E}E​ 为非空实数集, ∃α∈R\exists \alpha\in \mathbf{R}αR​,
      (1) ∀x∈E:x≥α\forall x \in \mathrm{E}: x \geq \alphaxE:xα
      (2) ∀δ>0,∃xδ∈E:xδ<α+δ;\forall \delta>0, \exists x_{\delta} \in \mathrm{E}: x_{\delta}<\alpha+\delta;δ>0,xδE:xδ<α+δ;
      α\alphaα​ 为 E\mathrm{E}E​​​ 的下确界.
  • 确界存在性公理
    • 集合有上界必有上确界
    • 同理,集合有下界必有下确界

第二节 函数

一、概念和表示

  • 什么是函数

    • 简单地说,函数是数集间的对应关系

    • DDD​ 是一个数集,∀x∈D,x⟶fy∈R\forall x \in \boldsymbol{D}, x \stackrel{f}{\longrightarrow} y \in \boldsymbol{R}xD,xfyR

      记为 y=f(x),x∈Dy=f(x), x \in \boldsymbol{D}y=f(x),xD​ 或 f:D→Rf: \boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{R}f:DR

      • f(x)f(x)f(x) or fff​​​ 称为函数
    • xxx 称为自变量

      • DDD 称为定义域
      • RRR 称为值域
    • 函数在 DDDx0x_{0}x0 的对应的 f(x0)f\left(x_{0}\right)f(x0) 称为函数在 x0x_{0}x0 的值有时记为, f∣x0\left.f\right|_{x_{0}}fx0

  • 自变量的字母是可以改变的符号

    • y=f(Δ),Δ∈Xy=f(\Delta), \quad \Delta \in Xy=f(Δ),ΔX
  • 函数的表示:只要给出两个要素

    • (1)定义域 ;(2)对应关系(函数二要素)
    • 解析式、图表等方式表示,解析式有时分段表示
    • DirichletDirichletDirichlet 函数(狄利克雷函数)
      D(x)={1x 为有理数 0x 为无理数 D(x)= \begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}D(x)={10x 为有理数 x 为无理数 

二、函数特性

00 函数的基本性质
  • 定义域
  • 值域
  • 解析式
  • 单调性
  • 周期性
  • 对称性
01 奇偶性
  • 如何确实函数的奇偶性?
02 有界性
  • 有界联系区间
    • 比如 y=exy=e^{x}y=ex 在定义域 RRR 上无界,但是在 (−∞,1)(-\infty,1)(,1) 内有界
  • 如何叙述 “无界”
    • ∃M>0,∀x∈D,∣f(x)∣≤M\exists M>0,\forall x \in D,|f(x)|\leq MM>0,xD,f(x)M,称 f(x)f(x)f(x) 是有界的
    • ∀M>0,∃xN∈D,∣f(xN)∣>M\forall M>0,\exists x_{N} \in D,|f(x_{N})| > MM>0,xND,f(xN)>M​,称 f(x)f(x)f(x)​ 是无界的
      • 任何数都不能成为它的界
03 单调性
  • 区别单调与严格单调
    • 单调

      ∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)≤f(x2)\forall x_1,x_2 \in D,x_1<x_2:f(x_1)\leq f(x_2)x1,x2D,x1<x2:f(x1)f(x2)​,称 fff​ 在 DDD​ 上单调增加

      自变量大,函数不小

    • 严格单调

      ∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)<f(x2)\forall x_1,x_2 \in D,x_1 < x_2:f(x_1)< f(x_2)x1,x2D,x1<x2:f(x1)<f(x2)​​,称 fff​​ 在 DDD​​​ 上严格单调增加

      自变量大,函数也大

  • 单调联系区间
    • 正弦函数等
04 周期性
  • 周期不唯一,通常指最小正周期
  • f(x)f(x)f(x) 的周期为 T\mathrm{T}T, 那么 f(ax+b)f(a x+b)f(ax+b) 的周期为 Ta\frac{T}{a}aT
  • 周期函数一定有最小正周期吗?
    • 常数函数
    • 狄利克雷函数
      D(x)={1x 为有理数 0x 为无理数 D(x)= \begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}D(x)={10x 为有理数 x 为无理数 

三、函数的运算

01 加减乘除
  • f+g  ,  f−g  ,  fg  ,  f/gf+g\ \ ,\ \ f-g\ \ , \ \ f g\ \ , \ \ f / gf+g  ,  fg  ,  fg  ,  f/g
02 复合运算
  • f∘g:(f∘g)(x)=f(g(x))f \circ g: \quad(f \circ g)(x)=f(g(x))fg:(fg)(x)=f(g(x))
  • 链式结构:y−u−v−xy-u-v-xyuvx
03 反函数
  • 单射、满射、双射
    • 单射
      设 函数 f:X→Yf: X \rightarrow Yf:XY
      x1,x2∈X,x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_{1}, x_{2} \in X, x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)x1,x2X,x1=x2f(x1)=f(x2)
      则称 fff​ 为单射的
    • 满射
      R(f)=YR(f)=YR(f)=Y​, 则称 fff​ 为满射的
    • 双射
      fff​ 为既是单射又是满射的 则称 fff​ 为双射的
  • 反函数的定义
    • 单射函数 f(x)f(x)f(x) 在其值域 R(f)\mathrm{R}(f)R(f) 上可定义反函数
      y=f(x),x∈X⇔x=f−1(y),y∈R(f)y=f(x), \quad x \in X \quad \Leftrightarrow \quad x=f^{-1}(y), \quad y \in R(f)y=f(x),xXx=f1(y),yR(f)
  • 反函数的图像
    • 当在原始定义下 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f1(y)​,图形与原函数图形重合
    • 当反函数表示为 y=f−1(x),x∈R(f)y=f^{-1}(x), \quad x \in R(f)y=f1(x),xR(f)​,图形与原函数图形关于直线 y=xy=xy=x​ 对称

四、初等函数

  • 基本初等函数
    • 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、六种三角函数及四种反三角函数
    • f(x)=c,xα,ax,log⁡axf(x)=c, \quad x^{\alpha}, \quad a^{x}, \quad \log _{a} xf(x)=c,xα,ax,logax
      sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x,cot⁡x,sec⁡xcsc⁡x\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x \csc xsinx,cosx,tanx,cotx,secxcscx
      arcsin⁡x,arccos⁡x,arctan⁡x,…\arcsin x, \quad \arccos x, \quad \arctan x, \quad \ldotsarcsinx,arccosx,arctanx,
  • 初等函数
    • 初等基本函数经过有限次四则运算和复合而成
    • 例如:双曲函数
      sh⁡x=ex−e−x2,ch⁡x=ex+e−x2,th⁡x=ex−e−xex+e−x\operatorname{sh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{ch} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{th} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}shx=2exex,chx=2ex+ex,thx=ex+exexex

五、隐函数、参数和极坐标表示的函数

  • 隐函数
    • 方程 F(x,y)=0F(x, y)=0F(x,y)=0 确定的函数
      x2+y2=9⇒ 在 y≥0 确定 y=9−x2   在 y≤0 确定 y=−9−x2\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2}=9 & \Rightarrow \quad \text { 在 } y \geq 0 \text { 确定 } y=\sqrt{9-x^{2}} \\ & \;\qquad\text { 在 } y \leq 0 \text { 确定 } y=-\sqrt{9-x^{2}}\end{array}x2+y2=9  y0 确定 y=9x2  y0 确定 y=9x2
    • 2x−y=2arctan⁡(y−x)2 x-y=2 \arctan (y-x)2xy=2arctan(yx) 虽然不能得出表达式,同样可以确定函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x),任意给 x0x_{0}x0, 可以确定唯一 y0y_{0}y0
  • 参数方程表示的函数

    • {x=φ(t)y=ψ(t)t∈I\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array} \quad t \in I\right.{x=φ(t)y=ψ(t)tI
    • 有时对一个 x,对应的 y 不唯一(如椭圆函数)
  • 极坐标表示的函数

    • r=r(θ)r=r(\theta)r=r(θ)
    • 与直角坐标的关系 (在一一对应情况下)
      x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r \cos \theta, y=r \sin \thetax=rcosθ,y=rsinθ
    • 考察极坐标图像
      • 周期性:周期Τ,图形绕原点角度 Τ 重复
      • 对称性
        • −θ-θθθθθ ,方程不变,图形关于极轴上下对称
        • π−θπ-θπθθθθ ,方程不变,图形关于 θ=π/2θ = π/2θ=π/2 左右对称
      • 描点作图

最后

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