高等数学笔记-乐经良老师
第一章 函数
第一节 实数集
一、集合
01 集合的概念
- 具有某种属性的事物的全体称为集合
- 事物—— a(元素)
- 集合—— A
- a 是 A 的元素: a∈A;a 不是 A 的元素: a∉A; a \text { 是 } A \text { 的元素: } a \in A ; a \text { 不是 } A \text { 的元素: } a \notin A \text {; }a 是 A 的元素: a∈A;a 不是 A 的元素: a∈/A;
02 表示法
- 列举
- 说明属性
- A={x∣ 使 x 属于 A 的属性 }A=\{x \mid \text { 使 } x \text { 属于 } A \text { 的属性 }\}A={x∣ 使 x 属于 A 的属性 }
03 集合的运算
- 并 (和) : A∪B(A+B)A \cup B(A+B)A∪B(A+B)
- 交 (积) : A∩B(AB)A \cap B(A B)A∩B(AB)
- 差 : A\BA \backslash BA\B
二、实数集
-
实数集R:有理数集(Q) + 无理数集
-
有理数集的特性
- (1) 有序性
- (2) 对加减乘除运算的封闭性(构成数域)
- (3) 稠密性
- 通过长度:有理数 —> 数轴上的点
有理数 <— 数轴上的点? (2\sqrt{2}2)
- 通过长度:有理数 —> 数轴上的点
-
实数集的特性:完备性(连续性)
- 实数集拥有有理数集的所有特性(有序性、封闭性、稠密性)
- 比有理数集多具备的一个特性:完备性
- 实数 <=> 数轴上的点(一一对应)
- 在极限运算下依然是封闭的
三、区间
-
有界区间
- 设 a<ba<ba<b, 那么
开区间 (a,b)={x∣a<x<b,x∈R}(a, b)=\{x \mid a<x<b, x \in \mathbf{R}\}(a,b)={x∣a<x<b,x∈R}
闭区间 [a,b]={x∣a≤x≤b,x∈R}[a, b]=\{x \mid a \leq x \leq b, x \in \mathbf{R}\}[a,b]={x∣a≤x≤b,x∈R}
半开闭区间 [a,b)=?,(a,b]=?[a, b)=?,(a, b]=?[a,b)=?,(a,b]=?
- 设 a<ba<ba<b, 那么
-
无界区间
- (−∞,b)={x∣x<b,x∈R}(−∞,+∞)=?,[a,+∞)=?\begin{aligned} &(-\infty, b)=\{x \mid x<b, x \in \mathbf{R}\} \\ &(-\infty,+\infty)=?,[a,+\infty)=? \end{aligned}(−∞,b)={x∣x<b,x∈R}(−∞,+∞)=?,[a,+∞)=?
-
一般区间表示: III (大写英文字母)
-
邻域
- 若 a∈R,δ>0a \in \mathbf{R}, \delta>0a∈R,δ>0, 则
U(a,δ)=(a−δ,a+δ):aU(a, \delta)=(a-\delta, a+\delta): aU(a,δ)=(a−δ,a+δ):a 的 δ\deltaδ 邻域
U0(a,δ)=(a−δ,a)⋃(a,a+δ)):a\stackrel{0}{U}(a, \delta)=(a-\delta, a) \bigcup(a, a+\delta)): aU0(a,δ)=(a−δ,a)⋃(a,a+δ)):a 的去心 δ\deltaδ 邻域
- 若 a∈R,δ>0a \in \mathbf{R}, \delta>0a∈R,δ>0, 则
四、数学符号
一些常用的数学符号 | |
---|---|
∈\in∈:属于 | ∉\notin∈/ :不属于 |
∀\forall∀ : 任给、任意的 | ∃\exists∃ : 存在 |
⇒:\Rightarrow:⇒: 蕴含着, 必要条件 | ⇐\Leftarrow⇐ : 源于, 充分条件 |
⇔\Leftrightarrow⇔ : 等价 | =def\stackrel{\operatorname{def}}{=}=def 定义为 |
maxEE\max \mathrm{E} \quad \mathrm{E}maxEE 中最大者 | minEE\min \mathrm{E} \quad \mathrm{E}minEE 中最小者 |
- 用逻辑符号表达某些数学语言较简洁,例如命题:
- 对任意一个实数 aaa,必定存在实数 bbb,使得 b>ab > ab>a
- 可以表述为:
- ∀a∈R , ∃ b∈R:b>a\forall a \in \mathbf{R}\ ,\ \exists\ b \in \mathbf{R}: b>a∀a∈R , ∃ b∈R:b>a
五、不等式
-
绝对值不等式
- ∣x−a∣<δ⇔a−δ<x<a+δ|x-a|<\delta \Leftrightarrow a-\delta<x<a+\delta∣x−a∣<δ⇔a−δ<x<a+δ
- ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta∣x−a∣<δ:刻画 点 xxx 到 aaa 的距离 <δ< \delta<δ
- a−δ<x<a+δa-\delta<x<a+\deltaa−δ<x<a+δ:刻画 xxx 在点 a−δa-\deltaa−δ 到 a+δa+\deltaa+δ 之间
-
基本不等式
a2+b22⩾a+b2⩾ab⩾21a+1b平方平均⩾代数平均⩾几何平均⩾调和平均 \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geqslant \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b} \geqslant \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\ \text{平方平均} \geqslant \text{代数平均} \geqslant \text{几何平均} \geqslant \text{调和平均} 2a2+b2⩾2a+b⩾ab⩾a1+b12平方平均⩾代数平均⩾几何平均⩾调和平均 -
三角不等式
- ∣x±y∣≤∣x∣+∣y∣,∣x−y∣≥∥x∣−∣y∥|x \pm y| \leq|x|+|y|, \quad|x-y| \geq\|x|-| y\|∣x±y∣≤∣x∣+∣y∣,∣x−y∣≥∥x∣−∣y∥
-
A-G不等式(算术平均-几何平均不等式)
-
x1,x2,⋯ ,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}x1,x2,⋯,xn 均非负数
x1+x2+⋯+xnn≥x1x2⋯xnn \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} nx1+x2+⋯+xn≥nx1x2⋯xn -
算术平均 ≥\geq≥ 几何平均
-
-
Bernoulli不等式(伯努利不等式)
- x≥0x \geq 0x≥0, 且 nnn 为正整数, 则 (1+x)n≥1+nx(1+x)^{n} \geq 1+n x(1+x)n≥1+nx
- 典例:证明 an−1≤a−1n(a>1)\sqrt[n]{a}-1 \leq \frac{a-1}{n} \quad(a>1)na−1≤na−1(a>1)
六、实数集的界
01 上界与下界
-
上界
- 设 E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃M∈R\exists \mathrm{M} \in \mathbf{R}∃M∈R,
∀x∈E:x≤M\forall x \in \mathrm{E}: x \leq \mathrm{M}∀x∈E:x≤M, 称 M\mathrm{M}M 是 E\mathrm{E}E 的一个上界. - 上界的等价表达:∃M>0,∀x∈E:∣x∣≤M\exists \mathrm{M}>0, \forall x \in \mathrm{E}:|x| \leq \mathrm{M}∃M>0,∀x∈E:∣x∣≤M
- 设 E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃M∈R\exists \mathrm{M} \in \mathbf{R}∃M∈R,
-
下界
- 设 E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃m∈R\exists \mathrm{m} \in \mathbf{R}∃m∈R,
∀x∈E:x≥N\forall x \in \mathrm{E}: x \geq \mathrm{N}∀x∈E:x≥N, 称 N\mathrm{N}N 是 m\mathrm{m}m 的一个上界. - 下界的等价表达:∃m>0,∀x∈E:∣x∣≥m\exists \mathrm{m}>0, \forall x \in \mathrm{E}:|x| \geq \mathrm{m}∃m>0,∀x∈E:∣x∣≥m
- 设 E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃m∈R\exists \mathrm{m} \in \mathbf{R}∃m∈R,
-
有界
- E\mathrm{E}E 既有上界又有下界称为有界的
02 上确界与下确界
- 上确界
- 通俗的说,即最小上界——怎样确切描述?
- E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃β∈R\exists \beta \in \mathbf{R}∃β∈R,
(1) ∀x∈E:x≤β\forall x \in \mathrm{E}: x \leq \beta∀x∈E:x≤β;——确保 β\betaβ 是上界
(2) ∀δ>0,∃xδ∈E:xδ>β−δ\forall \delta>0, \exists x_{\delta} \in \mathrm{E}: x_{\delta}>\beta-\delta∀δ>0,∃xδ∈E:xδ>β−δ;——比 β\betaβ 小那么一点点就不是上界了
称 β\betaβ 为 E\mathrm{E}E 的上确界.
- 下确界
- 最大下界
- E\mathrm{E}E 为非空实数集, ∃α∈R\exists \alpha\in \mathbf{R}∃α∈R,
(1) ∀x∈E:x≥α\forall x \in \mathrm{E}: x \geq \alpha∀x∈E:x≥α
(2) ∀δ>0,∃xδ∈E:xδ<α+δ;\forall \delta>0, \exists x_{\delta} \in \mathrm{E}: x_{\delta}<\alpha+\delta;∀δ>0,∃xδ∈E:xδ<α+δ;
称 α\alphaα 为 E\mathrm{E}E 的下确界.
- 确界存在性公理
- 集合有上界必有上确界
- 同理,集合有下界必有下确界
第二节 函数
一、概念和表示
-
什么是函数
-
简单地说,函数是数集间的对应关系
-
设 DDD 是一个数集,∀x∈D,x⟶fy∈R\forall x \in \boldsymbol{D}, x \stackrel{f}{\longrightarrow} y \in \boldsymbol{R}∀x∈D,x⟶fy∈R
记为 y=f(x),x∈Dy=f(x), x \in \boldsymbol{D}y=f(x),x∈D 或 f:D→Rf: \boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{R}f:D→R
- f(x)f(x)f(x) or fff 称为函数
-
xxx 称为自变量
- DDD 称为定义域
- RRR 称为值域
-
函数在 DDD 上 x0x_{0}x0 的对应的 f(x0)f\left(x_{0}\right)f(x0) 称为函数在 x0x_{0}x0 的值有时记为, f∣x0\left.f\right|_{x_{0}}f∣x0
-
-
自变量的字母是可以改变的符号
- y=f(Δ),Δ∈Xy=f(\Delta), \quad \Delta \in Xy=f(Δ),Δ∈X
-
函数的表示:只要给出两个要素
- (1)定义域 ;(2)对应关系(函数二要素)
- 解析式、图表等方式表示,解析式有时分段表示
- DirichletDirichletDirichlet 函数(狄利克雷函数)
D(x)={1x 为有理数 0x 为无理数 D(x)= \begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}D(x)={10x 为有理数 x 为无理数
二、函数特性
00 函数的基本性质
- 定义域
- 值域
- 解析式
- 单调性
- 周期性
- 对称性
01 奇偶性
- 如何确实函数的奇偶性?
02 有界性
- 有界联系区间
- 比如 y=exy=e^{x}y=ex 在定义域 RRR 上无界,但是在 (−∞,1)(-\infty,1)(−∞,1) 内有界
- 如何叙述 “无界”
- ∃M>0,∀x∈D,∣f(x)∣≤M\exists M>0,\forall x \in D,|f(x)|\leq M∃M>0,∀x∈D,∣f(x)∣≤M,称 f(x)f(x)f(x) 是有界的
- ∀M>0,∃xN∈D,∣f(xN)∣>M\forall M>0,\exists x_{N} \in D,|f(x_{N})| > M∀M>0,∃xN∈D,∣f(xN)∣>M,称 f(x)f(x)f(x) 是无界的
- 任何数都不能成为它的界
03 单调性
- 区别单调与严格单调
-
单调
∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)≤f(x2)\forall x_1,x_2 \in D,x_1<x_2:f(x_1)\leq f(x_2)∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)≤f(x2),称 fff 在 DDD 上单调增加
自变量大,函数不小
-
严格单调
∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)<f(x2)\forall x_1,x_2 \in D,x_1 < x_2:f(x_1)< f(x_2)∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)<f(x2),称 fff 在 DDD 上严格单调增加
自变量大,函数也大
-
- 单调联系区间
- 正弦函数等
04 周期性
- 周期不唯一,通常指最小正周期
- 若 f(x)f(x)f(x) 的周期为 T\mathrm{T}T, 那么 f(ax+b)f(a x+b)f(ax+b) 的周期为 Ta\frac{T}{a}aT
- 周期函数一定有最小正周期吗?
- 常数函数
- 狄利克雷函数
D(x)={1x 为有理数 0x 为无理数 D(x)= \begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}D(x)={10x 为有理数 x 为无理数
三、函数的运算
01 加减乘除
- f+g , f−g , fg , f/gf+g\ \ ,\ \ f-g\ \ , \ \ f g\ \ , \ \ f / gf+g , f−g , fg , f/g
02 复合运算
- f∘g:(f∘g)(x)=f(g(x))f \circ g: \quad(f \circ g)(x)=f(g(x))f∘g:(f∘g)(x)=f(g(x))
- 链式结构:y−u−v−xy-u-v-xy−u−v−x
03 反函数
-
单射、满射、双射
- 单射
设 函数 f:X→Yf: X \rightarrow Yf:X→Y
若 x1,x2∈X,x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_{1}, x_{2} \in X, x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)x1,x2∈X,x1=x2⇒f(x1)=f(x2)
则称 fff 为单射的 - 满射
若 R(f)=YR(f)=YR(f)=Y, 则称 fff 为满射的 - 双射
若 fff 为既是单射又是满射的 则称 fff 为双射的
- 单射
-
反函数的定义
- 单射函数 f(x)f(x)f(x) 在其值域 R(f)\mathrm{R}(f)R(f) 上可定义反函数
y=f(x),x∈X⇔x=f−1(y),y∈R(f)y=f(x), \quad x \in X \quad \Leftrightarrow \quad x=f^{-1}(y), \quad y \in R(f)y=f(x),x∈X⇔x=f−1(y),y∈R(f)
- 单射函数 f(x)f(x)f(x) 在其值域 R(f)\mathrm{R}(f)R(f) 上可定义反函数
-
反函数的图像
- 当在原始定义下 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y),图形与原函数图形重合
- 当反函数表示为 y=f−1(x),x∈R(f)y=f^{-1}(x), \quad x \in R(f)y=f−1(x),x∈R(f),图形与原函数图形关于直线 y=xy=xy=x 对称
四、初等函数
- 基本初等函数
- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、六种三角函数及四种反三角函数
- f(x)=c,xα,ax,logaxf(x)=c, \quad x^{\alpha}, \quad a^{x}, \quad \log _{a} xf(x)=c,xα,ax,logax
sinx,cosx,tanx,cotx,secxcscx\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x \csc xsinx,cosx,tanx,cotx,secxcscx
arcsinx,arccosx,arctanx,…\arcsin x, \quad \arccos x, \quad \arctan x, \quad \ldotsarcsinx,arccosx,arctanx,…
- 初等函数
- 初等基本函数经过有限次四则运算和复合而成
- 例如:双曲函数
shx=ex−e−x2,chx=ex+e−x2,thx=ex−e−xex+e−x\operatorname{sh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{ch} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{th} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}shx=2ex−e−x,chx=2ex+e−x,thx=ex+e−xex−e−x
五、隐函数、参数和极坐标表示的函数
-
隐函数
- 方程 F(x,y)=0F(x, y)=0F(x,y)=0 确定的函数
x2+y2=9⇒ 在 y≥0 确定 y=9−x2 在 y≤0 确定 y=−9−x2\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2}=9 & \Rightarrow \quad \text { 在 } y \geq 0 \text { 确定 } y=\sqrt{9-x^{2}} \\ & \;\qquad\text { 在 } y \leq 0 \text { 确定 } y=-\sqrt{9-x^{2}}\end{array}x2+y2=9⇒ 在 y≥0 确定 y=9−x2 在 y≤0 确定 y=−9−x2 - 2x−y=2arctan(y−x)2 x-y=2 \arctan (y-x)2x−y=2arctan(y−x) 虽然不能得出表达式,同样可以确定函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x),任意给 x0x_{0}x0, 可以确定唯一 y0y_{0}y0
- 方程 F(x,y)=0F(x, y)=0F(x,y)=0 确定的函数
-
参数方程表示的函数
- {x=φ(t)y=ψ(t)t∈I\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array} \quad t \in I\right.{x=φ(t)y=ψ(t)t∈I
- 有时对一个 x,对应的 y 不唯一(如椭圆函数)
-
极坐标表示的函数
- r=r(θ)r=r(\theta)r=r(θ)
- 与直角坐标的关系 (在一一对应情况下)
x=rcosθ,y=rsinθx=r \cos \theta, y=r \sin \thetax=rcosθ,y=rsinθ - 考察极坐标图像
- 周期性:周期Τ,图形绕原点角度 Τ 重复
- 对称性
- 以 −θ-θ−θ 代 θθθ ,方程不变,图形关于极轴上下对称
- 以 π−θπ-θπ−θ 代 θθθ ,方程不变,图形关于 θ=π/2θ = π/2θ=π/2 左右对称
- 描点作图
最后
😊为防止河蟹,链接已经通过“与熊论道/熊曰加密”加密处理,将下面的文字复制到“与熊论道/熊曰加密”页面的第二个输入框,点击“领悟熊所言的真谛”即可查看链接啦:
😊熊曰:呋食食雜森哮嗥註魚吃呱山萌萌笨有哞魚既魚性蜜覺呆食哮性洞哮山噗眠嗥嚄萌洞擊嗄襲呱物人你
😊如果嫌麻烦的话请私信咨询博主,谢谢!
😊PS:繁星依月/惟欢/一舟均为博主的马甲,本篇作品完全原创,再次感谢!