高等数学笔记-乐经良老师-第一章-函数

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于 2022-04-23 15:24:24 首次发布

高等数学笔记-乐经良老师

第一章函数

第一节实数集

一、集合

01 集合的概念

具有某种属性的事物的全体称为集合
- 事物—— a（元素）
- 集合—— A
$\text { 是 } A \text { 的元素: } a \in A ; a \text { 不是 } A \text { 的元素: } a \notin A \text {; }$

02 表示法

列举
说明属性
- $}A=\{x \mid \text { 使 } x \text { 属于 } A \text { 的属性 }\}$

03 集合的运算

并 (和) : $\cup B(A+B)$
交 (积) : $\cap B(A B)$
差 : $A\BA \backslash B$

二、实数集

实数集R：有理数集(Q) + 无理数集
有理数集的特性
- (1) 有序性
- (2) 对加减乘除运算的封闭性（构成数域）
- (3) 稠密性
  - 通过长度：有理数 —> 数轴上的点
    有理数 <— 数轴上的点？ ( $2\sqrt{2}$ ）
实数集的特性：完备性（连续性）
- 实数集拥有有理数集的所有特性（有序性、封闭性、稠密性）
- 比有理数集多具备的一个特性：完备性
- 实数 <=> 数轴上的点（一一对应）
- 在极限运算下依然是封闭的

三、区间

有界区间
- 设 $a < b$ , 那么
  开区间 $b)=\{x \mid a<x<b, x \in \mathbf{R}\}$
  闭区间 $b]=\{x \mid a \leq x \leq b, x \in \mathbf{R}\}$
  半开闭区间 $[a, b) = ?, (a, b] = ?$
无界区间
- $(−∞,b)={x∣x<b,x∈R}(−∞,+∞)=?,[a,+∞)=?\begin{aligned} &(-\infty, b)=\{x \mid x<b, x \in \mathbf{R}\} \\ &(-\infty,+\infty)=?,[a,+\infty)=? \end{aligned}$
一般区间表示: $I$ (大写英文字母)
邻域
- 若 $\in \mathbf{R}, \delta>0$ , 则
  $\delta)=(a-\delta, a+\delta): a$ 的 $δ\delta$ 邻域
  $U0(a,δ)=(a−δ,a)⋃(a,a+δ)):a\stackrel{0}{U}(a, \delta)=(a-\delta, a) \bigcup(a, a+\delta)): a$ 的去心 $δ\delta$ 邻域

四、数学符号

一些常用的数学符号
$∈\in$ ：属于	$∉\notin$ ：不属于
$∀\forall$ : 任给、任意的	$∃\exists$ : 存在
$⇒:\Rightarrow:$ 蕴含着, 必要条件	$⇐\Leftarrow$ : 源于, 充分条件
$⇔\Leftrightarrow$ : 等价	$=def⁡\stackrel{\operatorname{def}}{=}$ 定义为
$max⁡EE\max \mathrm{E} \quad \mathrm{E}$ 中最大者	$min⁡EE\min \mathrm{E} \quad \mathrm{E}$ 中最小者

用逻辑符号表达某些数学语言较简洁，例如命题：
- 对任意一个实数 $a$ ，必定存在实数 $b$ ，使得 $b > a$
- 可以表述为：
- $b∈R:b>a\forall a \in \mathbf{R}\ ,\ \exists\ b \in \mathbf{R}: b>a$

五、不等式

绝对值不等式
- $∣x−a∣<δ⇔a−δ<x<a+δ|x-a|<\delta \Leftrightarrow a-\delta<x<a+\delta$
- $∣x−a∣<δ|x-a|<\delta$ ：刻画点 $x$ 到 $a$ 的距离 $\delta$
- $a−δ<x<a+δa-\delta<x<a+\delta$ ：刻画 $x$ 在点 $a−δa-\delta$ 到 $a+δa+\delta$ 之间
基本不等式
$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \geqslant \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b} \geqslant \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\ \text{平方平均} \geqslant \text{代数平均} \geqslant \text{几何平均} \geqslant \text{调和平均}$
三角不等式
- $\pm y| \leq|x|+|y|, \quad|x-y| \geq\|x|-| y\|$
A-G不等式（算术平均-几何平均不等式）
- $,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 均非负数
  $\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}$
- 算术平均 $≥\geq$ 几何平均
Bernoulli不等式（伯努利不等式）
- $\geq 0$ , 且 $n$ 为正整数, 则 $(1+x)n≥1+nx(1+x)^{n} \geq 1+n x$
- 典例：证明 $an−1≤a−1n(a>1)\sqrt[n]{a}-1 \leq \frac{a-1}{n} \quad(a>1)$

六、实数集的界

01 上界与下界

上界
- 设 $E\mathrm{E}$ 为非空实数集, $∃M∈R\exists \mathrm{M} \in \mathbf{R}$ ,
  $∀x∈E:x≤M\forall x \in \mathrm{E}: x \leq \mathrm{M}$ , 称 $M\mathrm{M}$ 是 $E\mathrm{E}$ 的一个上界.
- 上界的等价表达： $∃M>0,∀x∈E:∣x∣≤M\exists \mathrm{M}>0, \forall x \in \mathrm{E}:|x| \leq \mathrm{M}$
下界
- 设 $E\mathrm{E}$ 为非空实数集, $∃m∈R\exists \mathrm{m} \in \mathbf{R}$ ,
  $∀x∈E:x≥N\forall x \in \mathrm{E}: x \geq \mathrm{N}$ , 称 $N\mathrm{N}$ 是 $m\mathrm{m}$ 的一个上界.
- 下界的等价表达： $∃m>0,∀x∈E:∣x∣≥m\exists \mathrm{m}>0, \forall x \in \mathrm{E}:|x| \geq \mathrm{m}$
有界
- $E\mathrm{E}$ 既有上界又有下界称为有界的

02 上确界与下确界

上确界
- 通俗的说，即最小上界——怎样确切描述?
- $E\mathrm{E}$ 为非空实数集, $∃β∈R\exists \beta \in \mathbf{R}$ ,
  (1) $∀x∈E:x≤β\forall x \in \mathrm{E}: x \leq \beta$ ；——确保 $β\beta$ 是上界
  (2) $∀δ>0,∃xδ∈E:xδ>β−δ\forall \delta>0, \exists x_{\delta} \in \mathrm{E}: x_{\delta}>\beta-\delta$ ；——比 $β\beta$ 小那么一点点就不是上界了
  称 $β\beta$ 为 $E\mathrm{E}$ 的上确界.
下确界
- 最大下界
- $E\mathrm{E}$ 为非空实数集, $∃α∈R\exists \alpha\in \mathbf{R}$ ,
  (1) $∀x∈E:x≥α\forall x \in \mathrm{E}: x \geq \alpha$
  (2) $∀δ>0,∃xδ∈E:xδ<α+δ;\forall \delta>0, \exists x_{\delta} \in \mathrm{E}: x_{\delta}<\alpha+\delta;$
  称 $α\alpha$ 为 $E\mathrm{E}$ 的下确界.
确界存在性公理
- 集合有上界必有上确界
- 同理，集合有下界必有下确界

第二节函数

一、概念和表示

什么是函数
- 简单地说，函数是数集间的对应关系
- 设 $D$ 是一个数集， $∀x∈D,x⟶fy∈R\forall x \in \boldsymbol{D}, x \stackrel{f}{\longrightarrow} y \in \boldsymbol{R}$
  
  记为 $\in \boldsymbol{D}$ 或 $\boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{R}$
  - $f (x)$ or $f$ 称为函数
- $x$ 称为自变量
  - $D$ 称为定义域
  - $R$ 称为值域
- 函数在 $D$ 上 $x_{0}$ 的对应的 $f(x0)f\left(x_{0}\right)$ 称为函数在 $x_{0}$ 的值有时记为， $f∣x0\left.f\right|_{x_{0}}$
自变量的字母是可以改变的符号
- $y=f(Δ),Δ∈Xy=f(\Delta), \quad \Delta \in X$
函数的表示：只要给出两个要素
- （1）定义域；（2）对应关系（函数二要素）
- 解析式、图表等方式表示，解析式有时分段表示
- $D i r i c h l e t$ 函数（狄利克雷函数）
  $\begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}$

二、函数特性

00 函数的基本性质

定义域
值域
解析式
单调性
周期性
对称性

01 奇偶性

如何确实函数的奇偶性？

02 有界性

有界联系区间
- 比如 $y=e^{x}$ 在定义域 $R$ 上无界，但是在 $(−∞,1)(-\infty,1)$ 内有界
如何叙述 “无界”
- $∃M>0,∀x∈D,∣f(x)∣≤M\exists M>0,\forall x \in D,|f(x)|\leq M$ ，称 $f (x)$ 是有界的
- $∀M>0,∃xN∈D,∣f(xN)∣>M\forall M>0,\exists x_{N} \in D,|f(x_{N})| > M$ ，称 $f (x)$ 是无界的
  - 任何数都不能成为它的界

03 单调性

区别单调与严格单调
- 单调
  
  $∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)≤f(x2)\forall x_1,x_2 \in D,x_1<x_2:f(x_1)\leq f(x_2)$ ，称 $f$ 在 $D$ 上单调增加
  
  自变量大，函数不小
- 严格单调
  
  $∀x1,x2∈D,x1<x2:f(x1)<f(x2)\forall x_1,x_2 \in D,x_1 < x_2:f(x_1)< f(x_2)$ ，称 $f$ 在 $D$ 上严格单调增加
  
  自变量大，函数也大
单调联系区间
- 正弦函数等

04 周期性

周期不唯一，通常指最小正周期
若 $f (x)$ 的周期为 $T\mathrm{T}$ , 那么 $f (a x + b)$ 的周期为 $Ta\frac{T}{a}$
周期函数一定有最小正周期吗？
- 常数函数
- 狄利克雷函数
  $\begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases}$

三、函数的运算

01 加减乘除

$f/gf+g\ \ ,\ \ f-g\ \ , \ \ f g\ \ , \ \ f / g$

02 复合运算

$\circ g: \quad(f \circ g)(x)=f(g(x))$
链式结构： $y - u - v - x$

03 反函数

单射、满射、双射
- 单射
  设函数 $\rightarrow Y$
  若 $x1,x2∈X,x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_{1}, x_{2} \in X, x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)$
  则称 $f$ 为单射的
- 满射
  若 $R (f) = Y$ , 则称 $f$ 为满射的
- 双射
  若 $f$ 为既是单射又是满射的则称 $f$ 为双射的
反函数的定义
- 单射函数 $f (x)$ 在其值域 $R(f)\mathrm{R}(f)$ 上可定义反函数
  $\quad x \in X \quad \Leftrightarrow \quad x=f^{-1}(y), \quad y \in R(f)$
反函数的图像
- 当在原始定义下 $x=f^{-1}(y)$ ，图形与原函数图形重合
- 当反函数表示为 $y=f−1(x),x∈R(f)y=f^{-1}(x), \quad x \in R(f)$ ，图形与原函数图形关于直线 $y = x$ 对称

四、初等函数

基本初等函数
- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、六种三角函数及四种反三角函数
- $\quad x^{\alpha}, \quad a^{x}, \quad \log _{a} x$
  $sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x,cot⁡x,sec⁡xcsc⁡x\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x \csc x$
  $arcsin⁡x,arccos⁡x,arctan⁡x,…\arcsin x, \quad \arccos x, \quad \arctan x, \quad \ldots$
初等函数
- 初等基本函数经过有限次四则运算和复合而成
- 例如：双曲函数
  $sh⁡x=ex−e−x2,ch⁡x=ex+e−x2,th⁡x=ex−e−xex+e−x\operatorname{sh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{ch} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{th} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$

五、隐函数、参数和极坐标表示的函数

隐函数
- 方程 $F (x, y) = 0$ 确定的函数
  $y=−9−x2\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2}=9 & \Rightarrow \quad \text { 在 } y \geq 0 \text { 确定 } y=\sqrt{9-x^{2}} \\ & \;\qquad\text { 在 } y \leq 0 \text { 确定 } y=-\sqrt{9-x^{2}}\end{array}$
- $\arctan (y-x)$ 虽然不能得出表达式，同样可以确定函数 $y = f (x)$ ，任意给 $x_{0}$ , 可以确定唯一 $y_{0}$
参数方程表示的函数
- ${x=φ(t)y=ψ(t)t∈I\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array} \quad t \in I\right.$
- 有时对一个 x，对应的 y 不唯一（如椭圆函数）
极坐标表示的函数
- $r=r(θ)r=r(\theta)$
- 与直角坐标的关系 (在一一对应情况下)
  $\cos \theta, y=r \sin \theta$
- 考察极坐标图像
  - 周期性：周期Τ，图形绕原点角度 Τ 重复
  - 对称性
    - 以 $- θ$ 代 $θ$ ，方程不变,图形关于极轴上下对称
    - 以 $π - θ$ 代 $θ$ ，方程不变,图形关于 $θ = π /2$ 左右对称
  - 描点作图

最后

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