高等数学笔记-乐经良老师-第十一章-级数

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#高等数学 #微积分 #级数 #泰勒公式 #学习

于 2022-05-18 00:02:49 首次发布

这篇笔记详细介绍了高等数学中级数的概念、性质及收敛性，包括正项级数的敛散性判别法，如比较判别法、根植判别法，以及泰勒级数和傅里叶级数的运用。同时探讨了级数在连续性、可导性和可积性上的应用，并举例展示了如何通过级数进行近似计算和积分求解。

高等数学笔记-乐经良老师

第十一章级数

第一节级数的概念和性质

一、级数的概念

01 无穷级数

设 $u1,u2,…,un,…u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, \ldots$ 是一个数列, 则和 $∑n=1∞un=u1+u2+⋯+un+⋯\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots$ 称为无穷级数（简称级数）.

02 项与通项

和式中的每一项称为级数的项， $u_{n}$ 称为级数的通项（或一般项）.

03 前 $n$ 项部分和

而其中， $Sn=∑n=1∞un=u1+u2+⋯+unS_n = \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ 称为级数的前 $n$ 项部分和.

04 级数收敛

若存在 $lim⁡n→∞Sn=S\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$ ，则称级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且收敛于 $S$ .

05 级数发散

若存在 $lim⁡n→∞Sn\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 不存在，则称级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散.

06 级数的和与余和

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛于 $S$ ，则称 $S$ 为级数的和，记为 $∑n=1∞un=S\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=S$ ；

称 $rn=∑k−n+1∞uk=S−Snr_{n}=\sum \limits_{k-n+1}^{\infty} u_{k}=S-S_{n}$ 为级数的余和，且显然有 $lim⁡n→∞rn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}r_n=0$ .

二、级数的基本性质

线性性质

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛到 $S$ ，级数 $∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛到 $T$ ，则级数 $∑n=1∞(αun±βvn)\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\alpha u_{n} \pm \beta v_{n}\right)$ 收敛到 $αS+βT\alpha S+\beta T$ .
将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散性。
若级数收敛于和 $S$ ，则将相邻若干项相加作一项而组成的新级数仍然收敛于 $S$ .

三、级数收敛的必要条件

必要条件

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $lim⁡n→∞un=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ （一般项是无穷小）
注意
- $∑n=1∞un≠0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \neq 0$ 或 $∑n=1∞un=∞(不存在)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = \infty \text{(不存在)}$ $⇒\Rightarrow$ $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散
- $∑n=1∞un=0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = 0$ 不一定导出 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛

第二节正项级数的敛散性

一、正项级数

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 满足 $un≥0u_n \geq 0$ ，则称之为正项级数 .

显然正项级数的部分和 $S_n$ 单调增加，因此有：

$‾>充分必要条件部分和Sn有界\text{正项级数} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛} \stackrel{\text{充分必要条件}}{<\overline{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }> } \text{部分和} S_n \text{有界}$ .

二、正项级数敛散性判别法

01 比较判别法

(1) 比较判别法

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 均为正项级数，且 $un≤vnu_n \leq v_n$ ，

则有 $∑n=1∞vn收敛⇒∑n=1∞un收敛.∑n=1∞un发散⇒∑n=1∞vn发散.\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散.}$

(2) 比较判别法的极限形式

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 均为正项级数，且 $lim⁡n→∞unvn=l\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac {u_{n}}{v_{n}}=l$ ，

则有 $当l=+∞时，∑n=1∞vn发散⇒∑n=1∞un发散.\quad \ \; \text{当} 0<l<+\infty \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{与} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{同敛散.} \\ \text{当} l=0 \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ \quad \ \text{当} l=+\infty \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.}$