高等数学笔记：留数法

野原星月

已于 2022-07-12 02:13:46 修改

阅读量2.1w

点赞数 30

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：学习

于 2022-04-25 10:19:50 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ding_Yifan/article/details/124398817

本文通过实例解析了留数法在有理分式拆分中的应用，展示了如何用留数法解决8x+3与(x+3)(2x-1)的积分问题，以及2x^2-x-1与(x+1)(x^2+3x+1)和2x^2+17x-16与(x+3)(2x-1)^2的分解与积分过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

繁星数学随想录·笔记卷

方法卷

留数法

留数法针对有理分式的拆分

$一、\int\frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)}dx\ 💖$

$\begin{aligned} & \frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)} = \frac{A}{x+3}+\frac{B}{2x-1} \\ \\ & 令\ x+3=0 \ , \ x=-3 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)}=\frac{8×(-3)+3}{\underline{(-3+3)}(2×(-3)-1)}=\frac{8×(-3)+3}{2×(-3)-1}=3\\ & \\ & 令\ 2x-1=0 \ , \ x=\frac12 \ , \ \\ & \quad\quad\quad B=\frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)}=\frac{8×\frac12+3}{(\frac12+3)\underline{(2×\frac12-1)}}=\frac{8×\frac12+3}{\frac12+3}=2\\ & \\ \end{aligned}$

$二、\int\frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)}dx\ 💖$

$\begin{aligned} & 第一种拆法\\ & \frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+1} \\ \\ & 令\ x+1=0 \ , \ x=-1 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)}=\frac{2×(-1)^2-(-1)-1}{\underline{(-1+1)}((-1)^2+3×(-1)+1)}=\frac{2×(-1)^2-(-1)-1}{(-1)^2+3×(-1)+1}=-2\\ & \\ & 得到\ \frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{-2}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+1}\\ & \quad\quad\quad 低次项(常数项):\ -1=(-2)×1+C\\ & \quad\quad\quad 高次项(二次项):\ 2=(-2)×1+B \\ & \quad\quad\quad 解得:\ B=4 \ , \ C=1\\ & 所以，\frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{-2}{x+1}+\frac{4x+1}{x^2+3x+1} \\ \\ & 第二种拆法\\ & 令\ x^2+3x+1=0 \ , \ \Delta > 0 \ , \ 则\ x^2+3x+1=(x+\frac{3+\sqrt5}{2})(x+\frac{3-\sqrt5}{2})\\ & \frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+\frac{3+\sqrt5}{2}} +\frac{C}{x+\frac{3-\sqrt5}{2}} \ , \ 处理方法参照第一类 \end{aligned}$

$三、\int\frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2}dx\ 💖$

$\begin{aligned} & 第一种拆法\\ & \frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2} = \frac{A}{x+3}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^2} \\ \\ & 令\ x+3=0 \ , \ x=-3 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2}=\frac{2×(-3)^2+17×(-3)-16}{\underline{(-3+3)}(2×(-3)-1)^2}=\frac{2×(-3)^2+17×(-3)-16}{2×(-3)-1}=-1\\ & \\ & 令\ (2x-1)^2=0 \ , \ x=\frac12 \ , \ \\ & \quad\quad\quad C=\frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2}=\frac{2×(\frac12)^2+17×\frac12-16}{(\frac12+3)\underline{(2×\frac12-1)^2}}=\frac{2×(\frac12)^2+17×\frac12-16}{(\frac12+3)}=-2\\ & 利用特殊值求出系数B，不妨令x=0，对于\\ & \quad\quad\quad \frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2} = \frac{-1}{x+3}+\frac{B}{2x-1}+\frac{-2}{(2x-1)^2}，x=0，易得B=3\\ \\ & 第二种拆法\\ & \frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2} = \frac{A}{x+3}+\frac{Bx+C}{(2x-1)^2} \ , \ 处理方法参照第一类 \end{aligned}$

$四、\int\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)}dx\ 💖$

$\begin{aligned} & \frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)} = \frac{A}{x+3}+\frac{Bx+C}{x^2+x+2} \\ \\ & 令\ x+1=0 \ , \ x=-1 \ , \ \\ & \quad\quad\quad A=\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)}=\frac{-1-1}{\underline{(-1+1)}((-1)^2+(-1)+2)}=\frac{-1-1}{(-1)^2+(-1)+2}=-1\\ & \\ & 令\ x^2+x+2=0 \ , \ \Delta < 0 \ , \ 则令\ x+1=u\ (即将另外一项整体代换) \ , \ \\ & \quad\quad\quad (u-1)^2+(u-1)+2=0\Rightarrow u= 1-\frac2u\\ & \quad\quad\quad Bx+C=\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)}=\frac{x-1}{(x+1)\underline{(x^2+x+2)}}=\frac{x-1}{x+1}\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =1-\frac2u=u=x+1 \\ & 所以，\frac{x-1}{(x+1)(x^2+x+2)} = \frac{-1}{x+3}+\frac{x+1}{x^2+x+2} \\ \end{aligned}$