高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第四节-不定积分

高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分

第四节 不定积分

一、定义

• 不定积分的定义
  • $f(x)$ 在 $I$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 在 $I$ 的不定积分，记为 $\int f(x)dx$​ .​
• 注意
  • 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int f(x)dx=F(x)+C$​ .

二、性质

• ${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$ 或 $d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$
  $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$ 或 $\int df(x)=f(x)+C$
• 线性运算
  • $f(x),\mathrm{g}(x)$​​ 有原函数, $\forall k\in \mathbf{R}$​​, 则 $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$​ .
  • $ \int[k f(x)] d x=k \int f(x) d x$ .

三、积分表

• 常数函数

  • $\int 0dx=C$

• 幂函数

  • $\int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}(\alpha \ne -1)$​​
  • $\int {\phi }^{\alpha }(x)d(\phi (x))=\frac{{\phi }^{\alpha +1}(x)}{\alpha +1}+C$ ​
  • $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$​​
  • $\int \frac{1}{x+a}dx=\ln |x+a|+C$​​​
  • $\int \frac{x}{x^2+a}dx=\frac{1}{2}\ln |x^2+a|+C$
  • $\int \frac{1}{(x+a{)}^k}dx=\{\begin{array}{ll}\ln |x+a|+C& k=1\\ \frac{(x+a{)}^{(1-k)}}{1-k}+C& k\ne 1\end{array}$​

• 指数函数

  • $\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}{a}^x+C$​
  • $\int e^{x}dx=e^x+C$​

• 三角函数

  • $\int \sin xdx=-\cos x+C$​
  • $\int \cos xdx=\sin x+C$​​​​
  • $\int \tan xdx=-ln|\cos x|+C$​
  • $\int \csc xdx=\int \frac{1}{sinx}dx=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$
  • $\int \sec xdx=\int \frac{1}{\cos x}dx=\ln |\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})|+C=\ln |\sec x+\tan x|+C$​​​
  • $\int \cot xdx=\int \frac{1}{\tan x}dx=\ln |\sin x|+C$
  • $\int {\sec }^{2}xdx=\int \frac{1}{co{s}^{2}x}dx=\tan x+C$​​​​
  • $\int {\csc }^{2}xdx=\int \frac{1}{si{n}^{2}x}dx=-\frac{1}{tanx}+C=-\cot x+C$
  • $\int \sec x\tan xdx=\int \frac{sinx}{co{s}^{2}x}dx=\frac{1}{cox}+C=\sec x+C$
  • $\int \csc x\cot xdx=\int \frac{cosx}{si{n}^{2}x}dx=-\frac{1}{sinx}+C=-\csc x+C$​

• 反三角函数

  • $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$​​​​
  • $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+C$​
  • $\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$​​
  • $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

• 对数函数

  • $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$​

  • $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \left|\sqrt{x^2\pm a^2}+x\right|+C$​​​

    ​ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(\sqrt{x^2\pm a^2}+x\right)+C$​

    ​ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln \left|\sqrt{x^2-a^2}+x\right|+C$​

• 其他复杂初等函数

  • $\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{|a|}+C$​
  • $\int \frac{x}{x^2+a}dx=\frac{1}{2}\ln |x^2+a|+C$​
  • $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}dx=\sqrt{x^2+a}+C$

四、不定积分的积分法

01 不定积分的换元法

(1) 不定积分的凑微分法（第一换元法）

• 凑微分法
  • 若 $\int f(x)dx=F(x)+C,\phi (x)$ 可导, 则 $\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=F(\phi (x))+C$
• 过程
  • $\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx\Rightarrow \int f(\phi (x))d\phi (x)\Rightarrow F(\phi (x))+C$
• 注意
  • 观察哪部分可凑成 ${\phi }^{\prime }dx=d\phi$，而使得微分号前剩下的部分恰好是 $\phi$ 的可积表达式
• 常用的凑微分
  • ${\phi }^{\prime }(x)dx=d\phi (x)$
  • $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$
  • $2xdx=d{x}^2$
  • $cosxdx=dsinx$
  • $se{c}^{2}xdx=\frac{1}{co{s}^{2}x}dx=dtanx$

(2) 不定积分的第二换元法

• 第二换元法
  • 若 $\int f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C$，且 $\psi$ 单调可导，${\psi }^{\prime }\ne 0$，则 $\int f(x)dx=F\left({\psi }^{-1}(x)\right)+C$
• 过程
  • 对 $\int f(x)dx$ 作变量代换 $x=\psi (t)$
  • $\Rightarrow \int f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)dt$ 可积
  • $\Rightarrow F(t)+C$ ​
    $\uparrow$​
    $t={\psi }^{-1}(x)$ ​

02 不定积分的分部积分法

• 概述
  • $\int udv=uv-\int vdu$
  • $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$
• 过程
  • $\int u{v}^{\prime }dx\Rightarrow \int udv=uv-\int vdu\Rightarrow uv-\int u^{\prime }vdx$
• 适用
  • 适用于被积函数为两类函数乘积的积分
• 如何选择 $v^{\prime }$
  • 一般而言依如下次序：$e^{\alpha x},\sin x($ 或 $\cos x),x^m$
• 凑微分优先权
  • 反三角 > 对数函数 > 幂函数 > 三角函数 > 指数函数
• 规律
  • 保证 $u$ 尽量简单
  • 将被积函数中尽量多的式子凑微分

最后

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