高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅱ)-定积分的应用-第六节-定积分的应用

高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅱ)-定积分的应用

第六节 定积分的应用

一、近似计算

01 矩形法

• 从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 $n$ 个小曲边梯形（底边等长）

  

• 用矩形近似小曲边梯形，则其面积近似：
  $$f\left(x_{i-1}\right)\Delta x_i=f\left(x_{i-1}\right)\frac{(b-a)}{n}=y_{i-1}\frac{(b-a)}{n}$$

• 导出近似公式：
  $${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^n\frac{b-a}{n}f\left(x_{i-1}\right)=\frac{b-a}{n}\left(y_0+y_1+\cdots +y_{n-1}\right)$$

• 也可取右端边长为矩形高，得右矩形公式

• 误差为$1/n$ 的同阶无穷小

02 梯形法

• 从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 $n$ 个小曲边梯形（底边等长）

  

• 用梯形近似小曲边梯形，则其面积近似：
  $$\frac{f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_i\right)}{2}\Delta x_i=\frac{(b-a)\left(y_{i-1}+y_i\right)}{2n}$$

• 导出近似公式：
  $${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{2n}\left[\left(y_0+y_n\right)+2\left(y_1+\cdots +y_{n-1}\right)\right]$$

• 误差为 $1/n^2$ 的同阶无穷小

03 抛物线法（辛普森积分法）

• 从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 $n$ 个小曲边梯形（底边等长）

  

• 取 $n=2m$, 相邻两个小曲边梯形上方曲线部分用拋物线近似，

• 则由 $\left(x_{2i-2},y_{2i-2}\right),\left(x_{2i-1},y_{2i-1}\right),\left(x_{2i},y_{2i}\right)$ 三点

• 可定出拋物线 $y=\alpha x^2+\beta x+\gamma$

• $\left[x_{2i-2},x_{2i}\right]$ 上小曲边梯面积形近似为：
  $${\int }_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}\left(\alpha x^2+\beta x+\gamma \right)dx=\frac{b-a}{6m}\left(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}\right)$$

• 导出近似公式：
  $$\frac{b-a}{6m}(y_0+y_{2m}+2\left(y_2+\cdots +y_{2m-2}\right)+4\left(y_1+\cdots +y_{2m-1}\right)$$

• 误差为 $1/n^4$ 的同阶无穷小

二、微元法

• 问题引入
  • 某个量分布在区间 $[a,b]$ 上，如果有 $dF=f(x)dx$，那么 $F={\int }_a^{b}f(x)dx$
  • 问题是：我们怎样得到 $f(x)$ ?
• 微元法
  • 分析在小区间分布的部分量 $\Delta F$ 的线性主部 $dF$ 来得到 $f(x)dx$
  • $\Delta F$ 与 $dF$ 的差是高阶无穷小 $o(\Delta x)$​

三、几何应用

01 几何应用-面积

(1) 直角坐标系

若 $f(x),g(x)\in C[a,b],f(x)\ge g(x)$，

求由 $y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$ 所围图形面积。

考虑 $[x,x+dx]$ 上的面积：
$$\Delta A\approx [f(x)-g(x)]dx\Rightarrow A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$$
如下图的图形，面积 = ？$\Rightarrow A={\int }_c^l[\phi (y)-\psi (y)]dy$

(2) 参数方程形式

若曲边梯形的曲边方程为参数形式，

$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$ (其中 $a=x(\alpha ),b=x(\beta )$)

则曲边梯形的面积：
$$A={\int }_a^{b}ydx={\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)dt$$

(3) 极坐标形式

由曲线 $r=r(\theta )$，射线 $\theta =\alpha ,\theta =\beta$ 所围成的图形面积 $A=$ ?

考虑 $[\theta ,\theta +d\theta ]$ 上的面积：
$$\Delta A\approx \frac{1}{2}{r}^2(\theta )d\theta \Rightarrow A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$$

02 几何应用-体积

(1) 已知截面积的几何体

若几何体的底面与 $x$ 轴垂直，而在 $x$ 处平行底面的截面面积为 $A(x)$，

求其体积 $V(a\le x\le b)$

考虑 $[x,x+dx]$ 上的体积
$$\Delta V\approx A(x)dx\Rightarrow V={\int }_a^{b}A(x)dx$$

(2) 旋转体

由曲线 $y=f(x)(y\ge 0)$，直线 $x=a,x=b$ 和 $x$ 轴围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转

所得几何体（旋转体）的体积。
$$V={\int }_a^b\pi y^{2}dx={\int }_a^b\pi f^2(x)dx$$
① 曲线 $x=x(y)(x\ge 0)$ 绕 $y$ 轴所得旋转体体积？

② 求旋转体的薄壳法

求曲线 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 下方的曲边梯形绕 $y$ 轴旋转所得几何体的体积

考虑对应 $[x,x+dx]$ 上的曲边梯形旋转出的体积
$$\Delta V\approx 2\pi yxdx\Rightarrow V={\int }_a^{b}2\pi xy(x)dx$$

03 几何应用-弧长和旋转体侧面积

(1) 弧长

求曲线 $y=y(x)$ 上 $a\le x\le b$ 一段的弧长 $s$，回顾弧微分
$$ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dx\Rightarrow s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dx$$
若曲线弧段为 $x=x(t),y=y(t)(\alpha \le t\le \beta )$
$$ds=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt\Rightarrow s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$$

(2) 旋转体的侧面积

由曲线 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 下方的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转得旋转体的侧面积 $S$ = ?

考虑 $[x,x+dx]$ 上曲线所对应的部分侧面积

① 能不能看成圆柱侧面 $\Delta S\approx 2\pi ydx(不成立)\leftarrow$ 并非线性主部

② $\Delta S\approx 2\pi yds=2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx\Rightarrow S={\int }_a^{b}2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$

三、物理应用

01【做功问题】

​ 内半径1米的半球形水池，将满池水抽尽，需做功多少？

02【压力问题】

​ 底长为a 高为h (单位为m) 的三角形薄板铅直地放入水中，

​ 底边恰在水表平面中，求薄板一个侧面上所受压力。

03【引力问题】

​ 均匀细棒长 $2l$, 质量为 $M$ (万有引力常数为 $G$ )

​ ① 单位质量的质点 $A$ 在棒的延长线上距棒中心 $O$ 点 $a$ 处。

​ ② 单位质量的质点 $B$ 在棒的垂直平分线上距 $O$ 点 $a$ 处。

​ 求细棒分别对 $A,B$ 的引力。

最后

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