BZOJ 1517 POI2006-MET subway

Problem

BZOJ又是权限题就不放链接了
洛谷

给定一棵树，选择m条路径覆盖最多的点的个数是多少，路径允许相交。

Solution

话说1e6的数据，要O(n)的做法啊。尤其可能还有点卡常，写个register吧，实测register在调用次数多的时候，有1/10的常数。

然后这题的思路有点神……
贪心。
贪心的思路是这样，把所有的叶子归为第一层，入队，然后用拓扑排序，将树上的点一一分层。对于每一层，用sum表示这一层的点数，那么其贡献为min(m*2,sum[i])。

说说为什么是对的吧……严格的证明好像我也不会（逃）
最优的路径必然是从一个叶子节点到另外一个节点。
我们考虑对于一棵树，sum是一个非严格递减的序列，因为树上除了叶子节点之外的节点至少有一个儿子。显然，我们要尽量覆盖更多的点，那么就要尽量少的经过重复的点，那么我们就可以通过改变选择的叶子节点以使得尽量少地经过重复的点。因此一个节点不能与其任意一个儿子同一层，即它的层数为deep[u]=max(deep[v])+1，否则会导致贪心时就无法保证先考虑儿子节点再考虑父亲节点。用拓扑排序解决。

Code

#include <cstdio>
#include <queue>
#define rg register
using namespace std;
const int maxn=1000010;
struct data{int v,nxt;}edge[maxn<<1];
int n,m,p,ans,head[maxn],deep[maxn],in[maxn],sum[maxn];
queue<int> q;
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline void insert(int u,int v)
{
    edge[++p]=(data){v,head[u]};head[u]=p;
    edge[++p]=(data){u,head[v]};head[v]=p;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    read(n);read(m);
    for(rg int i=1,x,y;i<n;i++)
    {
        read(x);read(y);
        insert(x,y);in[x]++;in[y]++;
    }
    for(rg int i=1;i<=n;i++)
      if(in[i]==1)
      {
        q.push(i);
        sum[deep[i]=1]++;
      }
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
        {
            in[edge[i].v]--;
            if(in[edge[i].v]==1)
            {
                deep[edge[i].v]=deep[x]+1;
                sum[deep[edge[i].v]]++;
                q.push(edge[i].v);
            }
        }
    }
    for(rg int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!sum[i]) break;
        ans+=min(m<<1,sum[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}