[环形dp] aw435. 传球游戏(基础dp+环形dp+递推)

1. 题目来源

链接：435. 传球游戏

2. 题目解析

思路：

• 状态定义： f[i][j] 表示传了 i 次后，球落在第 j 个小朋友手上的方案总数。
• 答案： f[m][0] 即为答案，小朋友编号从 0 开始。
• 初始化： f[0][0] = 1; 表示球一开始在 1 号小朋友手上，1 次不传也是一种方案。
• 状态转移： 考虑第 j 个小朋友球一定是从第 j-1、j+1 位小朋友手里传给他的，那么即有 f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1]，成立。考虑边界问题，即 j-1<0，j+1>=n 时，应该将其映射到 n-1，和 0。在此取模也能达到同样的目的，也是处理环形问题的一个方法，即等价于 f[i][j] = f[i-1][(j-1+n)%n]+f[i-1][(j+1)%n];。

本题与上楼梯求方案数很相似，可以说是它的二维拓展版。能很有效的帮助理解递推式到动态规划的这个实现过程。

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时间复杂度：$O(n^2)$
空间复杂度：$O(n^2)$

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代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 35;

int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ ) 
            f[i][j] = f[i - 1][(j - 1 + n) % n] + f[i - 1][(j + 1) % n];
    
    cout << f[m][0] << endl;
    return 0;
}

特判的等价写法：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 35;

int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ ) {
            if (j - 1 < 0) f[i][j] += f[i - 1][n - 1];
            else f[i][j] += f[i - 1][j - 1];
            if (j + 1 >= n) f[i][j] += f[i - 1][0];
            else f[i][j] += f[i - 1][j + 1];
        }
    cout << f[m][0] << endl;
    return 0;
}