[线性dp] 最大上升子序列和(最长上升子序列模型+经典)

最新推荐文章于 2024-06-26 14:30:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-06-26 14:30:00 发布 · 311 阅读

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博客围绕LIS变种及经典变种问题展开，以1016. 最大上升子序列和为例，强调该题对思维抽象的考查。介绍了解题思路，包括状态定义和状态转移，从状态定义、集合划分角度考虑问题，还给出了状态转移方程。

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- 0. 前言
- 1. LIS 变种+经典变种

0. 前言

1. LIS 变种+经典变种

1016. 最大上升子序列和

在这里插入图片描述

本题很考思维抽象。

重点： 线性 dp、LIS 问题、思维抽象

思路：

状态定义：
- f[i] 表示所有以 a[i] 结尾的上升子序列和的最大值
状态转移：
- 分类依据：倒数第二个数是哪个数，可将状态分类为倒数第二个数为空、为a[1]、a[2]、...、a[i-1]，总共是有 i 种情况，假设倒数第二个数是 a[k] 的话：
  - 当 a[i] > a[k] 时发生状态转移，有 f[i] = max(f[i], f[k] + a[i])，k = 0, 1, 2,...,i-1
状态转移方程： f[i] = max(f[i], f[k] + a[i])，k = 0, 1, 2,...,i-1

就是把求 LIS 状态转移方程的 +1 操作变成了 +a[i]，就行了。

就从状态定义、集合划分角度考虑问题就行了。也没必要太纠结像不像的。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e3+5;

int n;
int a[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[i] = a[i];
        for (int j = 0; j < i; ++j)
            if (a[i] > a[j])
                f[i] = max(f[i], f[j] + a[i]);
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) res = max(res, f[i]);
    cout << res << endl;
    return 0;
}