1.3 Grammer 法则

思维导图：

 

 

1.3 Cramer法则

Cramer法则概述

• Cramer法则用于解线性方程组，当系数行列式非零时，提供了一种解方程的方法。

实体与属性的划分原则

1. 公式表示：对于线性方程组 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数向量，b 是常数向量。
2. 解的形式：如果 A 的行列式（记作 D）非零，则方程组有唯一解。解可以用代数余子式表示。

解的唯一性证明

1. 过程：假设存在另一解满足方程组，则通过代数操作可证其与Cramer法则给出的解相同。
2. 系数行列式非零：系数行列式 D ≠ 0 是方程组存在唯一解的充分必要条件。

特殊情况

1. 零解条件：如果 b₁ = b₂ = … = bn = 0，则方程组只有零解。
2. 非零解条件：如果方程组的系数行列式 D = 0，则可能有非零解。

例子

1. 线性方程组的求解：通过计算系数行列式和代数余子式，使用Cramer法则求解。
2. 抛物线方程求解：给定点集，求过这些点的抛物线方程。

思考与拓展

• 探讨特定参数条件下，线性方程组解的存在性和唯一性。
• 多项式函数 f(x) 的根与系数的关系，特别是在有多个不同根的情况下。

定理1.2 的证明的理解： 

 

定理1.2，通常指的是Cramer法则，用于求解线性方程组。为了讲解这个定理的证明，我们首先需要了解一些基本概念：

• 线性方程组：形式为 Ax=b 的方程组，其中 A 是一个n×n 的系数矩阵，x 是一个包含未知数的列向量，b 是一个常数列向量。
• 行列式：矩阵 A 的行列式记为 ∣A∣ 或 det(A)，是一个与矩阵相关的标量值。

Cramer法则表明，如果矩阵 A 的行列式非零（即 A∣=0），则线性方程组 Ax=b 有唯一解。解由以下公式给出：

xj​=∣A∣∣Aj​∣​

其中xj​ 是解向量 x 的第 j 个元素，Aj​ 是将 A 的第 j 列替换为向量 b 后得到的矩阵。

定理1.2的证明

假设 Ax=b 是一个 n×n 系数矩阵 A 的线性方程组，并且≠0∣A∣=0。

存在性

1. 构造矩阵 Aj​：对于每个未知数 xj​，构造一个矩阵Aj​，它由矩阵 A 替换第 j 列为 b 而形成。
2. 计算每个 xj​：按照 Cramer法则，计算每个未知数为 xj​=∣A∣∣Aj​∣​。

这就给出了方程组的一个解。

唯一性

假设存在另一组解 [x1′​,x2′​,…,xn′​]T 满足 Ax′=b。根据线性方程组的性质，我们有：

Ax=Ax

由于 A∣=0，矩阵 A 可逆。左乘 −1A−1 到以上等式的两边，我们得到：

′x=x′

这说明除了通过 Cramer法则计算的解之外，没有其他解，从而证明了解的唯一性。

结论

Cramer法则的关键在于矩阵 A 的行列式非零，这确保了 A 是可逆的，并且保证了线性方程组 Ax=b 有唯一解。定理1.2不仅指出了如何找到这个唯一解，而且还通过数学证明保证了解的唯一性。

学到了什么？

从定理1.2的证明中，我们可以学到一系列重要的数学思想、思维方式、方法和技巧，这些不仅对解决具体的数学问题有帮助，而且在更广泛的科学和工程问题中也非常有用。

数学思想

1. 结构性思维：通过观察线性方程组的结构来理解和解决问题。这种思维方式强调了理解整体结构和组件之间关系的重要性。
2. 抽象性思维：定理将具体的数值问题转化为更抽象的代数问题，突显了数学中从具体到抽象的思维模式。

数学思维

1. 逻辑推理：证明的过程是基于逻辑推理的，这种严谨的推理过程是数学中最基本的思维方式。
2. 条件分析：对“如果...则...”的结构进行分析，这种条件分析对于理解和应用数学定理至关重要。

数学方法

1. 代数方法：使用行列式和矩阵作为工具，体现了代数方法在解决问题中的核心作用。
2. 构造性方法：通过构造特定的矩阵（例如 ��Aj​）来找到解，显示了构造性方法在解决问题中的重要性。

数学处理技巧

1. 矩阵操作：使用矩阵代数来处理复杂的系统，如方程组的求解，是一项非常实用的技能。
2. 可逆性和唯一性：探索矩阵的可逆性，并利用这一性质来证明解的唯一性，是解决线性方程组时的一个关键技巧。

综合应用

• 从多角度分析：在数学问题解决过程中，从不同角度（如几何、代数、分析）分析问题，可以提供更全面的理解。
• 从特殊到一般：先考虑特殊情况，再推广到一般情况，这种思维方式有助于深入理解数学概念和定理。

通过学习和理解这些数学思想、思维方式、方法和技巧，我们不仅能够解决特定的数学问题，还能将这些技能应用到更广泛的领域，如科学研究、工程设计等。

问题描述： 考虑线性方程组λx1​+x2​=1 和 x1​+λx2​=−1，其中 λ 是一个参数。我们需要讨论 �λ 取何值时，该方程组有唯一解，并求出这个解。

解题步骤

1. 写出方程组的矩阵形式:

2.计算系数矩阵的行列式：

1. 讨论解的存在性：

   • 方程组有唯一解的条件是 D=0，即 λ2−1=0，因此 1λ=1 且λ=−1。

2. 使用Cramer法则求解（当 λ=1 且 λ=−1）：

   • 计算 x1​ 和 2x2​ 的解：

     DDx1​​​和x2​=DDx2​​​

   • 其中,1Dx1​​ 和 2Dx2​​ 是分别用常数向量列替换 x1​ 和 x2​ 列后的新行列式。

3. 特殊情况的讨论：

   • 当 λ=1 或 λ=−1 时，检查方程组是否有解或是否有无限多解。

结论

• 这个问题展示了如何使用矩阵和行列式理论来求解线性方程组。
• 它还涉及到参数对方程组解的影响，这是高等代数和线性代数中一个重要的主题。