2.3 矩阵的逆

2.3 矩阵的逆

在实数运算中，除法是乘法的逆运算。对于任何非零实数 aaa，存在唯一的数 a−1a^{-1}a−1 使得 aa−1=a−1a=1aa^{-1} = a^{-1}a = 1aa−1=a−1a=1。受此启发，人们自然想到是否可以在矩阵运算中定义类似的逆运算，这就需要引入逆矩阵的概念。

2.3.1 逆矩阵

定义 2.7

设 AAA 为 nnn 阶方阵。如果存在一个 nnn 阶方阵 BBB，使得 AB=BA=EAB = BA = EAB=BA=E 则称矩阵 AAA 可逆，并称矩阵 BBB 是 AAA 的逆矩阵。

根据定义，式中 AAA 与 BBB 的地位是对等的，即如果 AAA 是可逆的，则 BBB 一定也是可逆的，且 AAA 是 BBB 的逆矩阵。显然，单位矩阵 EEE 一定可逆，且其逆还是它本身。

例 2.12

设 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}A=(13​24​)，问 AAA 是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵。

解答：

设 B=(abcd)B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}B=(ac​bd​) 是 AAA 的逆矩阵，则由 AB=EAB = EAB=E 可知 (1234)(abcd)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}(13​24​)(ac​bd​)=(10​01​)

解得： a+2c=1a + 2c = 1a+2c=1 b+2d=0b + 2d = 0b+2d=0 3a+4c=03a + 4c = 03a+4c=0 3b+4d=13b + 4d = 13b+4d=1

通过求解上述方程组，得： a=−2,b=1,c=1.5,d=−0.5a = -2, b = 1, c = 1.5, d = -0.5a=−2,b=1,c=1.5,d=−0.5

即 B=(−211.5−0.5)B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}B=(−21.5​1−0.5​)。

验证： AB=(1234)(−211.5−0.5)=(1001)AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}AB=(13​24​)(−21.5​1−0.5​)=(10​01​)

由定义 2.7 可知 AAA 是可逆的，且矩阵 BBB 是 AAA 的逆矩阵。

定理 2.1

如果 nnn 阶方阵 AAA 可逆，则它的逆矩阵是唯一的。

证明：

假设 BBB 和 CCC 都是 AAA 的逆矩阵，则有： AB=BA=EAB = BA = EAB=BA=E AC=CA=EAC = CA = EAC=CA=E

于是， B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=CB = BE = B(AC) = (BA)C = EC = CB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

因此，矩阵 AAA 的逆矩阵是唯一的。

例 2.13

已知矩阵 AAA，计算其代数余子式： A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}A=​105​216​340​​

解答：

计算代数余子式： A11=−24,A12=20,A13=−5A_{11} = -24, \quad A_{12} = 20, \quad A_{13} = -5A11​=−24,A12​=20,A13​=−5 A21=18,A22=−15,A23=4A_{21} = 18, \quad A_{22} = -15, \quad A_{23} = 4A21​=18,A22​=−15,A23​=4 A31=−4,A32=4,A33=−1A_{31} = -4, \quad A_{32} = 4, \quad A_{33} = -1A31​=−4,A32​=4,A33​=−1

于是，矩阵 AAA 的伴随矩阵为： A∗=(−2420−518−154−44−1)A^* = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}A∗=​−2418−4​20−154​−54−1​​

根据伴随矩阵的定义和行列式的展开性质，容易证明 A∗A^*A∗ 满足如下公式： AA∗=A∗A=∣A∣EAA^* = A^*A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E

如果 ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，则有： A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1​A∗

定理 2.2

方阵 AAA 可逆的充分必要条件为 ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，且此时 A−1A^{-1}A−1 由上式给出。

例 2.14

求例 2.13 中矩阵 AAA 的逆矩阵。

解答：

由例 2.13，∣A∣=−7|A| = -7∣A∣=−7，可得 A−1=1−7A∗=1−7(−2420−518−154−44−1)=(247−20757−187157−4747−4717)A^{-1} = \frac{1}{-7}A^* = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{24}{7} & -\frac{20}{7} & \frac{5}{7} \\ -\frac{18}{7} & \frac{15}{7} & -\frac{4}{7} \\ \frac{4}{7} & -\frac{4}{7} & \frac{1}{7} \end{pmatrix}A−1=−71​A∗=−71​​−2418−4​20−154​−54−1​​=​724​−718​74​​−720​715​−74​​75​−74​71​​​

这种利用伴随矩阵求 A−1A^{-1}A−1 的方法称为伴随矩阵法，它对阶数较低或较特殊的矩阵比较有用。但对于阶数较高的矩阵，这种方法一般很难使用，所以还需要探讨其他方法，这将在2.4节中给出。

例 2.15

已知 A=(0110)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}A=(01​10​)，求 (A∗)−1(A^*)^{-1}(A∗)−1 和 ∣A∗∣|A^*|∣A∗∣。

解答：

计算 ∣A∣=−1|A| = -1 ∣A∣=−1，因此， (A∗)−1=1∣A∣A∗=−A∗(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* = -A^*(A∗)−1=∣A∣1​A∗=−A∗

由 AA∗=∣A∣EAA^* = |A|EAA∗=∣A∣E，得 AA∗=−EA A^* = -EAA∗=−E

因此，∣A∗∣=∣A∣=−1|A^*| = |A| = -1∣A∗∣=∣A∣=−1。

矩阵方程

通常，含有未知矩阵的矩阵等式称为矩阵方程。矩阵方程有三种基本类型：

1. AX=DAX = DAX=D，其中 AAA 为可逆方阵；
2. XB=DXB = DXB=D，其中 BBB 为可逆方阵；
3. AXB=DAXB = DAXB=D，其中 AAA 和 BBB 均为可逆方阵。

根据矩阵的运算法则，这三种类型矩阵方程的解分别为： X=A−1DX = A^{-1}DX=A−1D X=DB−1X = DB^{-1}X=DB−1 X=A−1DB−1X = A^{-1}DB^{-1}X=A−1DB−1

例 2.23

已知 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}A=(13​24​)，B=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}B=(01​10​)，求解 XXX 使 AXB=CAXB = CAXB=C，其中 C=(3140)C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}C=(34​10​)。

解答：

经计算，∣A∣=−2≠0|A| = -2 \neq 0∣A∣=−2=0，∣B∣=−1≠0|B| = -1 \neq 0∣B∣=−1=0，因此矩阵 AAA 和 BBB 可逆。在方程 AXB=CAXB = CAXB=C 两端分别左乘 A−1A^{-1}A−1 和右乘 B−1B^{-1}B−1，并计算得： X=A−1CB−1=(−211.5−0.5)(3140)(0110)=(130−1)X = A^{-1}C B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}X=A−1CB−1=(−21.5​1−0.5​)(34​10​)(01​10​)=(10​3−1​)

矩阵加密

矩阵乘法可以用于信息的加密。例如，如果将26个英文字母分别对应一个整数，然后通过传送一组数据来传送信息，这就是利用整数进行编码的基本想法。

假设把26个英文字母A, B, ..., Z分别对应数字1, 2, ..., 26。如果要发送信息 "LINEAR"，可以将其编码为12, 9, 14, 5, 1, 18。直接发送这些数字，信息容易被破译。为提高安全性，可以使用矩阵乘法进行加密。

例如，选择一个行列式为±1的整数矩阵 AAA： A=(2314)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}A=(21​34​)

将信息编码为两个发送向量： (129),(145),(118)\begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 18 \end{pmatrix}(129​),(145​),(118​)

进行矩阵乘法： A(129)=(5148),A(145)=(4334),A(118)=(5673)A \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 51 \\ 48 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43 \\ 34 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 1 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 56 \\ 73 \end{pmatrix}A(129​)=(5148​),A(145​)=(4334​),A(118​)=(5673​)

发送加密后的信息： (51,48),(43,34),(56,73)(51, 48), (43, 34), (56, 73)(51,48),(43,34),(56,73)

接收方知道加密矩阵 AAA，可以计算其逆矩阵 A−1A^{-1}A−1，然后进行解密： A−1(5148)=(129),A−1(4334)=(145),A−1(5673)=(118)A^{-1} \begin{pmatrix} 51 \\ 48 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} \begin{pmatrix} 43 \\ 34 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} \begin{pmatrix} 56 \\ 73 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 18 \end{pmatrix}A−1(5148​)=(129​),A−1(4334​)=(145​),A−1(5673​)=(118​)

这样，便可以成功解码出原始信息 "LINEAR"。这种变换使得解码更加困难，从而提高了信息的安全性。