2.1 矩阵的基本概念

第二章 矩阵

2.1 矩阵的基本概念

2.1.1 矩阵的定义

矩阵是一个由数排列成的矩形数组，它往往用于表示线性方程组的系数和常数项。对于一个包含 nnn 个未知数和 mmm 个方程的线性方程组，如果略去其未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_nx1​,x2​,…,xn​，仅考虑对应的系数和右端项，可以将它们按顺序排成如下矩形数表：

a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮am1am2…amnbm\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \\ \end{array}a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮amn​​b1​b2​⋮bm​​

这种矩形数表称为矩阵。我们通常用大写字母 A,BA, BA,B 或其他符号来表示矩阵。因此，上述矩阵可以记作 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}A=(aij​)m×n​ ，其中 i=1,2,…,mi = 1, 2, \ldots, mi=1,2,…,m， j=1,2,…,nj = 1, 2, \ldots, nj=1,2,…,n。

2.1.2 矩阵的基本概念

定义：由 m×nm \times nm×n 个数 aija_{ij}aij​（i=1,2,…,m\；j=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, m \； j = 1, 2, \ldots, ni=1,2,…,m\；j=1,2,…,n）排成的一个 mmm 行 nnn 列的矩形数表称为矩阵。常用大写字母 A,BA, BA,B 或其他符号表示矩阵。上述矩阵可以记作 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}A=(aij​)m×n​。

如果矩阵 AAA 和 BBB 的行数和列数分别相等，则称 AAA 和 BBB 为同型矩阵。对于同型矩阵 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij​) 和 B=(bij)B = (b_{ij})B=(bij​)，如果它们对应的元素相等，则称矩阵 AAA 与 BBB 相等，记为 A=BA = BA=B。

例如，考虑以下矩阵：

(x211y000z)=(32112000−8)\begin{pmatrix} x & 2 & 1 \\ 1 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \\ \end{pmatrix}​x10​2y0​10z​​=​310​220​10−8​​

由此即得 x=3,y=2,z=−8x = 3, y = 2, z = -8x=3,y=2,z=−8。

矩阵与行列式的区别

必须注意，矩阵和行列式完全不是一个概念。行列式是一个算式，表示一个数且其行数和列数必相等，而矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不相等。

当然，行列式和矩阵也有一定联系。对于 nnn 阶方阵 AAA，通常用 ∣A∣|A|∣A∣ 或 detA\text{det}AdetA 表示方阵 AAA 的行列式。当 detA=0\text{det}A = 0detA=0 时，称 AAA 为奇异矩阵；当 detA≠0\text{det}A \neq 0detA=0 时，称 AAA 为非奇异矩阵。

2.1.3 一些特殊类型的矩阵

下面介绍一些常见的特殊矩阵类型：

1. 行矩阵与列矩阵：形如 A=(a11,a12,…,a1n)A = (a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1n})A=(a11​,a12​,…,a1n​) 的 1 行 nnn 列矩阵称为行矩阵；形如 A=(a11a21⋮am1)A = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}A=​a11​a21​⋮am1​​​ 的 mmm 行 1 列矩阵称为列矩阵。

2. 零矩阵：如果 aij=0a_{ij} = 0aij​=0（对于所有 iii 和 jjj），则称矩阵 AAA 为零矩阵。零矩阵通常记为 OOO。不同型的零矩阵 OOO 一般是不同的。

3. 对角矩阵：如果 nnn 阶方阵 AAA 除主对角线上的元素外，其余元素全为 0，则称 AAA 为对角矩阵。记作 A=diag(a1,a2,…,an)A = \text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)A=diag(a1​,a2​,…,an​)。

4. 单位矩阵：如果对角矩阵 AAA 的对角线元素全为 1，则称 AAA 为单位矩阵。单位矩阵通常记为 III 或 EEE。

5. 对称矩阵与反对称矩阵：对于 nnn 阶方阵 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij​)，如果 aij=ajia_{ij} = a_{ji}aij​=aji​（对于所有 iii 和 jjj），则称 AAA 为对称矩阵；如果 aij=−ajia_{ij} = -a_{ji}aij​=−aji​，则称 AAA 为反对称矩阵。

6. 三角形矩阵：对于 nnn 阶矩阵 AAA，如果矩阵 AAA 的所有元素都在主对角线及其上方（或下方），则称 AAA 为上（或下）三角形矩阵。

   上三角矩阵的形式为：

   (a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮00⋯ann)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​​

   下三角矩阵的形式为：

   (a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}​a11​a21​⋮an1​​0a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​00⋮ann​​​

7. 阶梯形矩阵与最简形矩阵：一个矩阵满足以下两个条件时，称其为行阶梯形矩阵：

   1. 所有全零行（如果有的话）均在非全零行的下方。
   2. 每个非全零行的第一个非零元素称为主元，且主元所在列的下标随着行数的增加而严格递增。

   例如，矩阵

   (123405080000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}​100​250​300​480​​

   是行阶梯形矩阵。

   最简形矩阵是指在行阶梯形矩阵的基础上，满足以下两个条件的矩阵：

   1. 每个主元均为 1。
   2. 每个主元所在列的其他元素全为 0。

   例如，矩阵

   (100010001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}​100​010​001​​

   是行最简形矩阵。