第三章 线性代数方程组的解法

引入：

解线性代数方程组是科学研究与工程计算中经常遇到的问题．本章讨论几

阶线性代数方程组

@1151 +@1282+••+Q10x,=61，

021261+222252十••+a2n2n=6，，

(3.1)

Qn1361+Qn222+•••+a..a,=b,

的解法，这里假定系数行列式不为零•若用矩阵表示,则方程组(3.1)可简写为

AX=6

(3.2)

其中4=[a,Jx是几阶非奇异的系数矩阵，区三（81，52，•,s.)“是未知向量,6=（61,02，

6.)「是右端向量

在线性代数中曾经指出方程组（3.2)有唯一解，并且可以用克拉默(Cra-mer)法则求解． 因此初看起来,问题早己解决．但以使用效果看并非如此，因为用克拉默法则求解方程组（3.2),需计算n+1 个几阶行列式，每个几阶行列式为几!项之和，每项又是n个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达(几+1）•n！。(n-1）次．当几较大时，其计算量是相当惊人的．因此学习与研究高效率、高精度、便于在计算机上实现的新解法很有必要目前，计算机上常用的解线性代数方程组的方法大致可分为“直接法”与“迭代法”两大类•“直接法”是指那些在没有舍人误差影响的条件下经有限步四则运算可求得准确解的方法，而“迭代法”则是一种逐次逼近的方法在这一章里，将介绍几个计算机上常用的有效解法，并在简要介绍向量与矩阵范数的基础上，讨论方程组的状态以及提高结果精度的一些方法•