边双联通分量小结+模板

为什么我之前都没学过……

预备知识

桥：如果去掉，图的联通块个数会增加的边

DFS树：将一个图DFS遍历所得到的树

非树边：不在DFS树上的边

显然非树边只会存在于DFS树的点与祖先之间

非树边不可能是桥

边双联通分量：任意两点通过【不经过同一边】的路径可达的子图

桥

有了以上姿势，就可以找到一张无向图的所有桥了

记录$in[x]$为x入栈的时间戳，$low[x]$为x可达的所有点中最小的in

显然，DFS树边$(u,v)$是桥当且仅当$low[v]>in[u]$

于是我们就得到了找桥的Tarjan算法：

void tarjan(int x,int fa){
    low[x]=in[x]=++times;
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (!in[son[j]]){
        tarjan(son[j],x);
        low[x]=min(low[x],low[son[j]]);
        if (low[son[j]]>dfn[x]) isb[j]=isb[j^1]=1;
     }else if (son[j]!=fa) low[x]=min(low[x],in[son[j]]);
}

边双联通分量

不经过桥，把整个图遍历一遍，每个联通块都是边双了

模板题：hihocoder 1184

//hihocoder 1184
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int red(){
    int res=0,f=1;char ch=nc();
    while (ch<'0'||'9'<ch) {if (ch=='-') f=-f;ch=nc();}
    while ('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+ch-48,ch=nc();
    return res*f;
}

const int maxn=20005,maxe=200005;
int n,e;
int tot,son[maxe],lnk[maxn],nxt[maxe];
inline void add(int x,int y){
    son[++tot]=y;nxt[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;
}
int times,in[maxn],low[maxn];
bool isb[maxe];
void tarjan(int x,int fa){
    low[x]=in[x]=++times;
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (!in[son[j]]){
        tarjan(son[j],x);
        low[x]=min(low[x],low[son[j]]);
        if (low[son[j]]>dfn[x]) isb[j]=isb[j^1]=1;
     }else if (son[j]!=fa) low[x]=min(low[x],in[son[j]]);
}
int BCC,bcc[maxn],Min[maxn];
void bl(int x){
    bcc[x]=BCC;Min[BCC]=min(Min[BCC],x);
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (!isb[j]&&!bcc[son[j]]) bl(son[j]);
}
int main(){
    n=red(),e=red();tot=1;
    for (int i=1,x,y;i<=e;i++) x=red(),y=red(),add(x,y),add(y,x);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     if (!in[i]) tarjan(i,0);
    cl(Min,63);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     if (!bcc[i]) BCC++,bl(i);
    printf("%d\n",BCC);
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",Min[bcc[i]]);
    return 0;
}