【FFT】BZOJ2194 快速傅立叶之二-优快云博客

本文介绍了一种快速傅里叶变换（FFT）算法的特殊应用场景，针对一种特殊的卷积计算问题，通过对输入序列进行反转处理，使得原本无法直接应用FFT加速的问题得以解决。文章提供了完整的代码实现，有助于读者深入理解FFT及其在复杂情况下的应用。

FFT经典题……

题目中 $C_i$ 与 $A_i,B_i$ 的关系非常奇怪，导致不能直接使用FFT加速
如果我们把 $A_i$ 倒过来，那么就有：

C k = \sum i \geq k i < n a n - i - 1 \cdot b i - k

$C_k=\sum_{i\ge k}^{i<n} a_{n-i-1}\cdot b_{i-k}$
所以就可以用FFT加速运算了

示例程序：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int red(){
    int res=0,f=1;char ch=nc();
    while (ch<'0'||'9'<ch) {if (ch=='-') f=-f;ch=nc();}
    while ('0'<=ch&&ch<='9') res=res*10+ch-48,ch=nc();
    return res*f;
}

const int maxn=262150;
const double PI=3.14159265358979323846;
int n,a[maxn],b[maxn];
struct comp{
    double r,i;
    comp(double _r=0,double _i=0):r(_r),i(_i) {}
    comp operator + (const comp&b) {return comp(r+b.r,i+b.i);}
    comp operator - (const comp&b) {return comp(r-b.r,i-b.i);}
    comp operator * (const comp&b) {return comp(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);}
    comp operator / (const double&b) {return comp(r/b,i/b);}
}A[maxn],B[maxn],C[maxn];
int rev[maxn];
void get_rev(int n){
    rev[0]=0;
    for (int i=1,l=log2(n);i<n;i++)
     rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
}
void FFT(comp *a,int n,int d){
    for (int i=0;i<n;i++) if (rev[i]<i) swap(a[rev[i]],a[i]);
    for (int l=2;l<=n;l<<=1){
        comp w_n(cos(2*PI/l),sin(2*PI/l)*d);
        for (int k=0;k<n;k+=l){
            comp w(1,0),_t,_T;
            for (int j=0,tj=l>>1;j<tj;j++,w=w*w_n)
             _t=a[k+j],_T=w*a[k+j+tj],
             a[k+j]=_t+_T,a[k+j+tj]=_t-_T;
        }
    }
    if (d<0) for (int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]/n;
}
int main(){
    n=red();
    for (int i=0;i<n;i++) a[n-i-1]=red(),b[i]=red();
    for (int i=0;i<n;i++) A[i].r=a[i],B[i].r=b[i];
    int t=n;n=1;while (n<t*2) n<<=1;
    get_rev(n);
    FFT(A,n,1);FFT(B,n,1);
    for (int i=0;i<n;i++) C[i]=A[i]*B[i];
    FFT(C,n,-1);
    for (int i=0;i<t;i++) printf("%d\n",(int)(C[t-i-1].r+0.5));
    return 0;
}