主席树/函数式线段树/可持久化线段树

【前言】

主席树、函数式线段树、可持久化线段树
这三者其实是一个东西……
它的作用十分显然，就是访问线段树的历史版本……

【实现】

假设我们要对线段树进行Q次插入操作，如何（随机）访问第i次操作后的线段树？

我们当然可以对每个状态都造一棵完整的线段树，但是显然会MLE啊，怎么办？
观察可以发现，线段树的插入操作每次只会更新logN个节点，其他节点都不会变
于是我们可以利用前一次操作的状态，避免重复构造不变节点。
如何实现对不变节点的利用呢？看下图：

新的节点“依附”在旧的线段树上，并与旧的线段树共用一些子树
（看这图需要有一点空间想象力）
另外，主席树有一个很有用的性质就是每棵线段树的形态都是一样的，所以可以对每个对应节点相加减（这样就可以容斥啦）

【应用】

可持久化线段树有什么用呢？一般用于基于序列的名次操作（离线）。
说个最简单的，给定一个序列，每次询问区间[L,R]中第k大的数。
首先考虑线段树表示的是什么，我们定义线段[L,R]表示所有满足L<=a[i]<=R的个数（注意不要和上面的区间[L,R]搞混）。
那么思考如下过程：从1至n，一个一个对线段树插入a[i]。
这样就可以构造出主席树。其中第i棵线段树（第i个历史版本）rot[i]的节点[L,R]的权值表示[1,i]这个子区间的所有满足L<=a[i]<=R的个数。
询问与BST的Rank操作类似，考虑在rot[i]中找第K大的数，如果左子树的权值大于等于K，说明第k大的