[C++]可持久化线段树主席树模型分析及例题详解_什么题目可以用线段树解决c++-优快云博客

本文详细介绍了线段树及其在区间最值和求和问题中的应用，讨论了线段树的缺陷，即无法回溯历史版本。然后引出了可持久化线段树，即主席树，通过动态开点和双指针同步搜索解决了版本回溯的问题。文章提供了两个模板题，分别展示了主席树在单点修改和区间第k小值查询中的实现，以及空间复杂度和时间复杂度分析。

线段树

模型介绍

通过前面的学习我们都对线段树有了一定的了解。线段树是用于解决区间最值问题和区间求和类问题的树形数据结构，其特点为：支持多次修改、多次查询且时间复杂度都接近o(logn)。下面，假如我们想对数列arr{8,4,5,3}的每个区间求最小值，我们可以建立如下图的线段树。

不难看出，线段树建树是不断二分当前区间并形成新的子节点，同时通过子节点最小值回溯计算父节点最小值的过程。现在，假如我们将arr[3]（假定下标从1开始计数）的值修改为2，那么线段树将会变为如下图所示。

接下来，我们再将arr[1]的值修改为1，线段树最终变为如下图所示。

线段树的缺陷

我们将每一次变换看作是一次version（版本）的改变，那么线段树依次经历了三个版本。可以看出，朴素的线段树改值的方式是将原值覆盖，但这样同样会出现一个问题：假如我们想要获得上一个版本中的区间最值呢？换句话说，假如我们对线段树进行了一次操作，我们无法回撤这一次的操作而获取原本的值。

线段树的分类

朴素线段树大致分为两类：普通线段树和权值线段树。对于普通线段树来说，每个节点的区间分别对应了元素在数组中的下标，节点中一般需要维护区间内的最值或区间和；而权值线段树的节点区间则对应了数组的值域，同时维护每个值域内数的出现频次。

主席树（可持久化线段树）

模型介绍

显然，为了解决上述问题，我们需要多个根节点去对应存储不同版本下的线段树。如果我们要经过m次操作获得m个新版本的线段树，那么最简单的方法无疑是创建m棵线段树去对应存储每一个版本了。但是，每棵线段树都需要4n的空间，那么总共的空间复杂度需要o(4mn)，这显然已经超出MLE的警戒线了，所以这必然不是一个很好的方案。

我们不妨观察上文中线段树的两次单点插入操作，可以发现，虽然每次操作都会形成一个新版本的线段树，但是实际修改的节点只有一条链式结构，且最多只有logn+1个结点会被修改。于是，我们就产生了这样一种想法：既然其他的结点都不会被修改，那我们是否可以在新版本的线段树下继承这些不需要修改的旧结点，再另外开辟新的结点去存储需要修改的结点呢？

于是，主席树便由此诞生了。接下来，我们仍然以刚才的数据为例，演示主席树的结构。

现在，我们修改arr[3]的值为2，因此可能被修改的结点有[3,3]对应结点、[3,4]对应结点和[1,4]对应结点。因此，我们需要开辟出三个新结点去存储这三个区间的新值。其他结点都不需要更改，因此我们只需要将新结点连接到旧树上，就形成了一个新的线段树，而这个线段树也同样对应了新的版本。

同样地，我们将arr[1]的值修改为1，[1,1]对应结点、[1,2]对应结点和[1,4]对应结点可能被修改，按照同样的方式，我们可以建立如下的新树。

这样，我们便通过一个数据结构建立起了对应多个版本的线段树，我们将它称为可持久化线段树，也就是主席树。

空间复杂度分析

设数组大小为n，共进行m次改值操作，建立初代线段树需要2n-1个节点，每次改值需要新建logn+1个节点，空间复杂度约为o(2n+m(logn+1))，即o(nlogn+3n)级的空间复杂度。

模板题一：洛谷P3919

原题呈现

[题目描述]

如题，你需要维护这样的一个长度为 N 的数组，支持如下几种操作

1. 在某个历史版本上修改某一个位置上的值

2. 访问某个历史版本上的某一位置的值

此外，每进行一次操作（*对于操作2，即为生成一个完全一样的版本，不作任何改动*），就会生成一个新的版本。版本编号即为当前操作的编号（从1开始编号，版本0表示初始状态数组）

[输入格式]

输入的第一行包含两个正整数 N, M ，分别表示数组的长度和操作的个数。

第二行包含 N 个整数，依次为初始状态下数组各位的值（依次为 ai， 1 ≤ i ≤ N）。

接下来 M 行每行包含3或4个整数，代表两种操作之一（ i 为基于的历史版本号）：

1. 对于操作1，格式为 vi 1 loci valuei，即为在版本 vi 的基础上，将 aloci 修改为 valuei

2. 对于操作2，格式为 vi 2 loci，即访问版本 vi 中的 aloci 的值，生成一样版本的对象应为vi

[输出格式]

输出包含若干行，依次为每个操作2的结果。

[输入样例]

5 10
59 46 14 87 41
0 2 1
0 1 1 14
0 1 1 57
0 1 1 88
4 2 4
0 2 5
0 2 4
4 2 1
2 2 2
1 1 5 91

[输出样例]

[数据规模]

对于30%的数据： 1 ≤ N, M ≤ 1e3

对于50%的数据： 1 ≤ N, M ≤ 1e4

对于70%的数据： 1 ≤ N, M ≤ 1e5

对于100%的数据： 1 ≤ N, M ≤ 1e6, 1 ≤ loci ≤ N, 0 ≤ vi < i, -1e9 ≤ ai, valuei&nbs

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