[算法学习]——可持久化权值线段树求区间第k小（主席树）

前置知识

树状数组，线段树 （本文不讲）

权值线段树，树上二分，动态开点线段树（下文会讲）

前置知识讲解

权值线段树

虽然叫线段树，但事实上我们一般用树状数组去写权值线段树

并非像线段树那样维护数组下标区间$[l,r]$中的信息，而是以权值为下标，维护权值为$[l,r]$的数量

一个简单的例子：询问数组中有多少满足$5\le x\le 8$的权值$x$

首先我们考虑如何维护权值线段树，对于第$i$个元素$a_i$，我们应该$bit.modify(a_i,1)$，表示权值为$a_i$的数量$+1$

考虑查询，树状数组是类似于前缀和的思想，$bit.query(x)$表示权值最多为$x$的数量，那么就是$bit.query(8)-bit.query(4)$，值最多为$8$的数量减去值最多为$4$的数量，那么我们就得到了权值处于区间$[5,8]$的数量

我们可以画个图简单的理解下：

在这个图中，表示数组有两个权值为一的元素，一个权值为二的元素，零个权值为四的元素，然后我们利用树状数组查询$bit.query(4)$相当于把所有小于等于$4$的值的数量都求出来了，即$bit.query(4)=2+1+2+0=5$

注：下文的主席树还是以用线段树去实现权值线段树，这里主要是讲思想，所以用了树状数组

树上二分

学会了权值线段树后，我们考虑求全局第$k$小，我们二分一个答案$mid$，然后计算权值处于区间$[l,mid]$的数量$cnt$。

如果$cnt<k$的话，那么显然答案不会在$[l,mid]$区间上，所以我们要判断区间$[mid+1,r]$中哪个数有可能是答案，此外，因为$[l,mid]$都不是答案，所以$k$要减去这些数量，即$k=k-cnt$

如果$cnt\ge k$的话，说明答案在$[l,mid]$区间内，那么我们继续迭代判断即可。

我们可以手动模拟一下：

例如我们在这个权值线段树上求全局第$3$大

一开始$l=1,r=6,mid$