CF961G Partitions 组合数学

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组合数学

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本文探讨了一个复杂的组合数学问题，即如何计算将n个带权物品分成k个集合的所有可能方式的权值总和，通过巧妙的数学转换和分析，提供了一种O(nlogn)的高效解决方案。

Description

有n个带权物品，要把它们分成k个集合
定义一个分法的权值为每个集合的大小*集合内权值之和
问所有分法权值之和

Solution

一开始没看到要乘上一个集合大小。。以为是sb题
讲一个头铁娃的做法

显然每个物品对答案贡献的系数都是一样的。考虑枚举一个物品所在集合的大小s，那么有
$∑s=1ns(n−1s−1){n−sk−1}\sum_{s=1}^{n}{s\binom{n-1}{s-1}\begin{Bmatrix}n-s\\k-1\end{Bmatrix}}$
这个柿子还是很直观的
跳过一些中间拆掉斯特林数和交换枚举的步骤，我们不难得到这样一个柿子
$∑i=0k−1(−1)i(k−i−1)!i!∑s=1ns(n−1s−1)(k−i−1)n−s\sum_{i=0}^{k-1}{\frac{{\left(-1\right)}^{i}}{{\left(k-i-1\right)}!{i}!}\sum_{s=1}^{n}{s\binom{n-1}{s-1}{\left(k-i-1\right)}^{n-s}}}$
我们不妨分析后面那个Σ的内容
找不同环节到了。。一个神仙操作就是
$∑s=1ns(n−1s−1)(k−i−1)n−s=∑s=1n(s−1)(n−1s−1)(k−i−1)n−s+∑s=1n(n−1s−1)(k−i−1)n−s\sum_{s=1}^{n}{s\binom{n-1}{s-1}{\left(k-i-1\right)}^{n-s}}=\sum_{s=1}^{n}{\left(s-1\right)\binom{n-1}{s-1}{\left(k-i-1\right)}^{n-s}}+\sum_{s=1}^{n}{\binom{n-1}{s-1}{\left(k-i-1\right)}^{n-s}}$
注意到 $k(nk)=n(n−1k−1)k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$ ，于是
$(n−1)∑s=1n(n−2s−2)(k−i−1)n−s+∑s=1n(n−1s−1)(k−i−1)n−s\left(n-1\right)\sum_{s=1}^{n}{\binom{n-2}{s-2}{\left(k-i-1\right)}^{n-s}+\sum_{s=1}^{n}{\binom{n-1}{s-1}{\left(k-i-1\right)}^{n-s}}}$
又注意到 $kn=(k−1+1)n=∑i=0n(ni)(k−1)n−ik^n={\left(k-1+1\right)}^n=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}{\left(k-1\right)^{n-i}}}$ ，所以我们可以把上面的柿子化成
$(n−1)(k−i)n−2+(k−i)n−1\left(n-1\right){\left(k-i\right)}^{n-2}+{\left(k-i\right)}^{n-1}$
然后往回带，就可以做到 $O(nlog⁡n)O(n\log n)$ 求系数了，最后乘上权值之和就是答案
累死我了。。

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)
#define drp(i,st,ed) for (int i=st;i>=ed;--i)
#define fill(x,t) memset(x,t,sizeof(x))
#define copy(x,t) memcpy(x,t,sizeof(x))

#define fi first
#define se second

typedef std:: pair <int,int> pair;
typedef long double ld;
typedef long long LL;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;
const int ny2=(MOD+1)/2;
const int N=200005;
const ld pi=acos(-1);
const ld e=exp(1);
const ld eps=1e-8;

LL inv[N],fac[N],w[N];

int read() {
	int x=0,v=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):v,ch=getchar());
	for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
	return x*v;
}

LL ksm(LL x,LL dep) {
	LL res=1;
	for (;dep;dep>>=1,x=x*x%MOD) {
		(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;
	}
	return res;
}

int main(void) {
	int n=read(),k=read();
	LL sum=0,T=0;
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	rep(i,2,n-1) {
		fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
		inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	}
	rep(i,2,n-1) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%MOD;
	rep(i,1,n) {
		LL tmp=read();
		sum+=tmp; (sum>=MOD)?(sum-=MOD):0;
	}
	if (n==1) return 0&printf("%lld\n", sum);
	rep(i,0,k-1) {
		LL tmp=inv[i]*inv[k-i-1]%MOD*ksm(k-i,n-2)%MOD*(n+k-i-1)%MOD;
		if (i&1) T+=MOD-tmp;
		else T+=tmp;
		(T>=MOD)?(T-=MOD):0;
	}
	printf("%lld\n", sum*T%MOD);
	return 0;
}