【CF961G】Partitions（第二类斯特林数）（线性筛）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zxyoi_dreamer/article/details/99945540

本文探讨了使用第二类斯特林数解决特定组合优化问题的方法，详细解释了如何通过斯特林数的组合意义来计算一组数值中各元素对整体权值的贡献，从而优化问题解决方案。文章提供了一段C++代码示例，展示了如何实现这一计算过程。

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题解：

考虑这个划分的组合意义。

实际上就是每个数对同组的数的最终权值都有自己 $w$ 的贡献。

考虑一个数对所有数的贡献。

对自己的贡献的系数显然是 $S_{n,k}$ ，对其他数的贡献显然是 $(n-1)\cdot S_{n-1,k}$

用第二类斯特林数通项公式求一下就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const

namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<22|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}
	
	template<typename T>
	inline T get(){
		char c;
		while(!isdigit(c=gc()));T num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
	inline int gi(){return get<int>();}
}
using namespace IO;

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){a+=b-mod;return a+((a>>31)&mod);}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+((a>>31)&mod);}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline int power(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));
	return res;
}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=(a>>31)&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=(a>>31)&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}

cs int N=2e5+7;

int p[N],pc,mnp[N];
int fac[N],ifac[N];

inline void linear_sieves(int lim){
	for(int re i=2;i<=lim;++i){
		if(!mnp[i])p[++pc]=i;
		for(int re j=1;i*p[j]<=lim;++j){
			mnp[i*p[j]]=p[j];
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
	for(int re i=2;i<=lim;++i)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[lim]=power(fac[lim],mod-2);
	for(int re i=lim-1;i;--i)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}

int pw[N];
inline int S(int n,int k){
	int ans=0;
	for(int re i=0;i<=k;++i){
		pw[i]=mnp[i]?mul(pw[i/mnp[i]],pw[mnp[i]]):power(i,n);
		int val=mul(ifac[k-i],mul(pw[i],ifac[i]));
		((k-i)&1)?Dec(ans,val):Inc(ans,val);
	}
	return ans;
}

signed main(){
#ifdef zxyoi
	freopen("partitions.in","r",stdin);
#endif
	int n,k,sum=0;n=gi(),k=gi();linear_sieves(n);
	for(int re i=1;i<=n;++i)Inc(sum,gi());
	cout<<mul(sum,add(S(n,k),mul(n-1,S(n-1,k))))<<"\n";
	return 0;
}