bzoj5219 [Lydsy2017省队十连测]最长路径容斥+dp

最新推荐文章于 2020-02-28 15:37:43 发布

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本文探讨了在给定n和p的情况下，求解n个点形成的竞赛图中，从1出发最长路恰好为i的数量，并对结果进行模运算。通过分析竞赛图的特性，提出了一种基于容斥原理的解决方案，同时提供了详细的算法实现和代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定n和p
对于i从1到n，求n个点形成的，从1出发最长路恰好为i的竞赛图数量，对p取模
$n≤2000n\le2000$

Solution

由一些小常识可以知道，竞赛图一定存在一条哈密顿路径，且强连通分量缩点之后形成的，一定是一条若干scc形成的链，拓扑序小的scc向后连满边
也就是说，1为起点的最长路，一定是从1出发，向后走完所有scc。所以最长路=n-[1走不到的点]

考虑设f[n]表示n个节点的答案，g[n]表示n个点形成竞赛图强连通的方案。推g可以容斥
$g[n]=2(n2)−∑i=1n−12(i2)g[n−i](ni)g[n]={2^{\binom{n}{2}}}-\sum_{i=1}^{n-1}{2^{\binom{i}{2}}g[n-i]\binom{n}{i}}$
考虑怎么求f，我们枚举1所在scc的大小i，然后枚举1能到达其余scc的大小之和j，那么答案就是
$f[i+j]=(n−1i−1)g[i]2(j2)2(n−i−j2)f[i+j]=\binom{n-1}{i-1}g[i]2^{\binom{j}{2}}2^{\binom{n-i-j}{2}}$

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int N=2005;

LL f[N],g[N],ans[N];
LL C[N][N]; int MOD;

LL ksm(LL x,LL dep) {
	LL res=1;
	for (;dep;dep>>=1,x=x*x%MOD) {
		(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;
	}
	return res;
}

void upd(LL &x,LL v) {
	x+=v,(x>=MOD)?(x-=MOD):0;
}

int main(void) {
	// freopen("data.in","r",stdin);
	// freopen("myp.out","w",stdout);
	int n; scanf("%d%d",&n,&MOD);
	C[0][0]=1;
	rep(i,1,n) {
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		rep(j,1,i-1) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
	}
	f[0]=g[0]=1;
	rep(i,1,n) {
		f[i]=g[i]=ksm(2,i*(i-1)/2);
		rep(j,1,i-1) {
			g[i]=(g[i]+MOD-f[j]*g[i-j]%MOD*C[i][j]%MOD)%MOD;
		}
	}
	rep(i,1,n) rep(j,0,n-i) {
		upd(ans[i+j],g[i]*C[n-1][i-1]%MOD*C[n-i][j]%MOD*f[j]%MOD);
	}
	rep(i,1,n) printf("%lld ", (ans[i]*f[n-i]%MOD+MOD)%MOD); puts("");
	return 0;
}