【竞赛图】【DP】最长路径

最新推荐文章于 2022-05-03 11:30:55 发布

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分类专栏： DP

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博客分析了最长路径问题的唯一性，并通过反证法证明所有非路径点必须指向路径上的点。由此提出使用动态规划（DP）来解决这个问题。定义DP(i,j)表示i个点构成最长长度为j的路径的方案数。当i>j时，DP(i,j)=DP(j,j)*C(i-j,2)，而对于i=j的情况，利用容斥原理计算DP(i,i)的值。" 54292329,5765926,Python编程入门：从零开始学Python,"['Python基础', '开发环境搭建', '编程语言类型', '数据类型', '运算符']

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在这里插入图片描述

分析：

很显然，最长路径一定是唯一的。

考虑这么证明：对终点v而言，所有不在路径上的点一定指向它。
然后，对于次终的点u而言，如果它指向任意一个不在路径上的点，那么可以通过u->x->v，得到一条更长的路径，所以所有不在路径上的点也一定指向它
……
综上，除了最长路径以外，所有点都指向这条路径。

那么，就可以DP了

定义 $D P (i, j)$ 表示：i个点的竞赛图，构成最长长度为j的路径的方案数。

显然，对于不在路径上的点，其两两之间任意连边均可，唯一要考虑的就是路径上的点。

因此， $若 i > j$ , $DP(i,j)=DP(j,j)*2^{C(i-j,2)}$

现在就是当 $i = j$ 时怎么办，很显然，对于一个i个点的图，合法的 $j$ 满足 $0≤j≤i0\leq j\leq i$ ，因此，可以用一下容斥：即总方案数 $2^{(C(i,2))})$ ，减去所有 $j < i$ 的DP值，就可以得到 $D P (i, i)$ 的值。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 2010
using namespace std;
typedef long long ll;
ll C[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN];
ll MOD;
void prepare(int n){
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;	
	}
}
ll fsp(ll x,ll y){
	ll res=1;
	while(y){
		if(y&1ll)
			res=res*x%MOD;
		x=x*x%MOD;
		y>>=1ll;	
	}
	return res;
}
int main(){
	freopen("path.in","r",stdin);
	freopen("path.out","w",stdout);
	int n;
	SF("%d%d",&n,&MOD);
	prepare(n);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll sum=0;
		for(ll j=1;j<i;j++){
			dp[i][j]=C[i-1][j-1]*dp[j][j]%MOD*fsp(2,(i-j)*(i-j-1)/2ll)%MOD;
			(sum+=dp[i][j])%=MOD;
//			PF("[%d %d :%lld]\n",i,j,dp[i][j]);
		}
		dp[i][i]=(fsp(2,i*(i-1ll)/2ll)-sum+MOD)%MOD;
//		PF("[%d %d :%lld]\n",i,i,dp[i][i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		PF("%lld\n",dp[n][i]);
}