cf932F Escape Through Leaf dp+李超树

最新推荐文章于 2024-08-23 22:26:47 发布

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探讨树形DP算法在解决特定类型问题上的应用，通过李超树进行优化，实现高效寻找子树内直线的最低交点，适用于计算树结构中各节点到终止节点的最小代价。

Description

有一棵以 1 号点为根的树，有 n−1 条边 ui,vi，每个点两个权值 Ai,Bi。你可以从一个点 u 跳到另一个点 v 满足 v 在 u 的子树中，并付出 Au ·Bv 的代价。定义终止节点为没有任何儿子的节点。对于每个节点，求出从这个点出发到达任意一个终止节点的最小代价。

Constraints

对于 30% 的数据，n ≤ 5∗103。
对于另外 10% 的数据，∀i Bi = 1。
对于另外 30% 的数据，树是一条链，且除 1 号点外，i 号点的父亲是 i−1。
对于 100% 的数据，2 ≤ n ≤ 105，|Ai|,|Bi|≤ 105。

Solution

考虑dp，设f[i]为第i个点的答案，转移比较显然
可以发现如果把b看成斜率，f看成截距，那么我们实际上在找某一条垂直于x轴的直线与子树内直线的最低交点，这个点显然只在凸壳上
这里写的是李超树合并，然鹅我并不会证复杂度。std给出的是set维护凸壳，启发式合并的做法。

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const LL INF=1000000000000000LL;
const int N=200005;

struct line {LL k,b;};
struct edge {int y,next;} e[N*2];
struct treeNode {int l,r; line rec;} t[N*51];

int a[N],b[N];
int root[N],tot;
int ls[N],edCnt;

LL f[N];

int read() {
	int x=0,v=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
	for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
	return x*v;
}

void add_edge(int x,int y) {
	e[++edCnt]=(edge) {y,ls[x]}; ls[x]=edCnt;
	e[++edCnt]=(edge) {x,ls[y]}; ls[y]=edCnt;
}

double get_x(line a,line b) {
	return (double)(a.b-b.b)/(b.k-a.k);
}

LL get_y(line a,LL x) {
	return a.k*x+a.b;
}

void modify(int &now,int tl,int tr,line x) {
	if (!now) {
		t[now=++tot].rec=x;
		return ;
	}
	if (get_y(t[now].rec,tl)<get_y(x,tl)&&get_y(t[now].rec,tr)<get_y(x,tr)) return ;
	if (get_y(t[now].rec,tl)>get_y(x,tl)&&get_y(t[now].rec,tr)>get_y(x,tr)) {
		t[now].rec=x; return ;
	}
	double pos=get_x(t[now].rec,x);
	int mid=(tl+tr)>>1;
	if (t[now].rec.k<x.k) {
		if (pos>mid) {
			modify(t[now].r,mid+1,tr,t[now].rec);
			t[now].rec=x;
		} else modify(t[now].l,tl,mid,x);
	} else {
		if (pos<mid) {
			modify(t[now].l,tl,mid,t[now].rec);
			t[now].rec=x;
		} else modify(t[now].r,mid+1,tr,x);
	}
}

LL query(int now,int tl,int tr,int x) {
	if (!now) return INF;
	if (tl==tr) return get_y(t[now].rec,x);
	int mid=(tl+tr)>>1;
	LL tmp,ret=get_y(t[now].rec,x);
	if (x<=mid) tmp=query(t[now].l,tl,mid,x);
	else tmp=query(t[now].r,mid+1,tr,x);
	return std:: min(ret,tmp);
}

int merge(int x,int y,int tl,int tr) {
	if (!x||!y) return x+y;
	if (tl==tr) {
		if (get_y(t[y].rec,tl)<get_y(t[x].rec,tl)) {
			t[x].rec=t[y].rec;
		}
		return x;
	}
	int mid=(tl+tr)>>1;
	t[x].l=merge(t[x].l,t[y].l,tl,mid);
	t[x].r=merge(t[x].r,t[y].r,mid+1,tr);
	modify(x,tl,tr,t[y].rec);
	return x;
}

void dfs(int now,int fa) {
	bool flag=true;
	for (int i=ls[now];i;i=e[i].next) {
		if (e[i].y==fa) continue;
		dfs(e[i].y,now);
		root[now]=merge(root[now],root[e[i].y],-N,N);
		flag=false;
	}
	if (!flag) f[now]=query(root[now],-N,N,a[now]);
	modify(root[now],-N,N,(line) {b[now],f[now]});
}

int main(void) {
	freopen("data.in","r",stdin);
	freopen("myp.out","w",stdout);
	int n=read();
	rep(i,1,n) a[i]=read();
	rep(i,1,n) b[i]=read();
	rep(i,2,n) add_edge(read(),read());
	dfs(1,0);
	rep(i,1,n) printf("%lld\n", f[i]);
	return 0;
}