jzoj5796 划分 exgcd+容斥

最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布

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容斥原理

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exgcd

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本文探讨了通过已知序列的多个K-划分序列来确定原始序列中元素值的方法。提出了一个有效的算法，并通过容斥原理解决了计算问题，确保了算法在大规模数据集上的可行性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有一个未知的序列x，长度为n。它的K-划分序列y指的是每连续K个数的和得到划分序列，y[1]=x[1]+x[2]+….+x[K]，y[2]=x[K+1]+x[K+2]+….+x[K+K]….。若n不被K整除，则y[n/K+1]可以由少于K个数加起来。比如n=13，K=5，则y[1]=x[1]+…+x[5]，y[2]=x[6]+….+x[10]，y[3]=x[11]+x[12]+x[13]。若小A只确定x的K[1]划分序列以及K[2]划分序列….K[M]划分序列的值情况下，问她可以确定x多少个元素的值。

对于20%的数据，3 <= N <= 2000,M<=3。
对于40%的数据，3 <= N <= 5*10^6。
对于100%的数据，3 <= N <= 10^9 , 1 <= M <= 10，2 <= K[i] < N。

Solution

我好菜啊

一个位置x能够确定当且仅当我们知道x这一位置的前缀和与x-1这一位置的前缀和
那么就是 $\begin{align}x\equiv1\pmod {a[i]}\\ x\equiv0\pmod{a[j]}\end{align}$
我们对所有的a分成三组，分别是余1、余0、不选。注意到同余的可以合并，模数变为lcm，因此最后剩下两个方程直接exgcd出解

这样算会算重，因此要容斥

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int N=1025;

LL a[N],ans,n,m;

LL gcd(LL x,LL y) {
    return !y?x:gcd(y,x%y);
}

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {
    if (!b) {
        x=1; y=0; return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    LL tmp=x; x=y; y=tmp-(a/b)*y;
}

void dfs(int dep,LL lcm1,LL lcm2,int s1,int s2,LL r) {
    if (lcm1>n||lcm2>n) return ;
    if (dep==m+1) {
        if (!(s1*s2)) return ;
        if (gcd(lcm1,lcm2)!=1) return ;
        LL x,y; exgcd(lcm1,lcm2,x,y);
        x%=lcm2;
        while (x<=0) x+=lcm2;
        ans+=r*n/lcm1/lcm2+r*(x<=(n/lcm1%lcm2));
        return ;
    }
    dfs(dep+1,lcm1,lcm2,s1,s2,r);
    dfs(dep+1,lcm1/gcd(lcm1,a[dep])*a[dep],lcm2,s1|(1<<dep-1),s2,-r);
    dfs(dep+1,lcm1,lcm2/gcd(lcm2,a[dep])*a[dep],s1,s2|(1<<dep-1),-r);
}

int main(void) {
    // freopen("sazetak.in","r",stdin);
    // freopen("sazetak.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    rep(i,1,m) scanf("%lld",&a[i]); a[++m]=n;
    dfs(1,1,1,0,0,1);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}