51nod 2026 Gcd and Lcm 杜教筛

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杜教筛

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本文探讨了一个特定的数论问题，通过数学分析将复杂表达式简化，并运用杜教筛算法高效求解。文章详细介绍了如何利用数学性质进行问题转化，最终通过编程实现了解题过程。

Description

定义

f (n) = \sum d | n μ (d) \cdot d

$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot d$
求

\sum i = 1 n \sum j = 1 n f (l c m (i, j)) \cdot f (g c d (i, j))

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n f(lcm(i,j))\cdot f(gcd(i,j))$

Solution

我们知道 $lcm(i,j)=\frac{i\cdot j}{gcd(i,j)}$ 且 $gcd(\frac{i}{gcd(i,j)},j)=1$
那么可以拆成

a n s = (\sum i = 1 n f (i)) 2

$ans=\left(\sum_{i=1}^n f(i)\right)^2$
考虑怎么求f的前缀和

S (n) = \sum i = 1 n \sum d | i μ (d) \cdot d = \sum d = 1 n μ (d) \cdot d \cdot ⌊ n d ⌋

$S(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)\cdot d=\sum_{d=1}^n \mu(d)\cdot d \cdot\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$
现在考虑怎么求

f(n)=μ(n)⋅nf(n)=μ(n)⋅n $f(n)=\mu(n)\cdot n$ 的前缀和，这是一个很经典的杜教筛问题，然后就A了

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=1000000007;
const int N=10000005;

std:: map <LL,LL> map;

bool not_prime[N];

LL prime[N/10],mu[N];

void pre_work(int n) {
    mu[1]=1;
    rep(i,2,n) {
        if (!not_prime[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;i*prime[j]<=n&&j<=prime[0];j++) {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    rep(i,1,n) mu[i]=(mu[i-1]+mu[i]*i%MOD+MOD)%MOD;
}

LL S(LL n) {
    return ((n+1)*n/2)%MOD;
}

LL solve(LL n) {
    if (n<=N) return mu[n];
    if (map[n]) return map[n];
    LL ret=0;
    for (LL i=2,j;i<=n;i=j+1) {
        j=n/(n/i);
        LL tmp=(S(j)-S(i-1)+MOD)%MOD;
        ret=(ret+tmp*solve(n/i)%MOD)%MOD;
    }
    ret=(1+MOD-ret)%MOD;
    return map[n]=ret;
}

int main(void) {
    pre_work(N);
    LL n,ans=0; scanf("%lld",&n);
    for (int i=1,j;i<=n;i=j+1) {
        j=n/(n/i);
        LL tmp=solve(j)-solve(i-1);
        ans=(ans+tmp*(n/i)%MOD)%MOD;
    } ans=(ans*ans)%MOD;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}