51nod 2026 Gcd and Lcm

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#信息学 #莫比乌斯反演 #杜教筛

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本文解析了一道数论题目，通过将题目转化为求解特定函数的平方和问题，利用杜教筛法高效求解。文章详细介绍了如何通过分解质因数的方式简化问题，并给出完整的代码实现。

原题链接.

题目大意：

设 $f(n) = \sum_{d|n}μ(d)*d$ 。
求 $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n f(gcd(i, j)) * f(lcm(i, j))$
$1<=n<=10^9$

题解：

把μ(d)*d看作一个整体，这是一个积性函数，卷了一个恒等函数，那么显然f是一个积性函数。
设 $i=\prod p^{q1},j = \prod p^{q2}$
$f(gcd(i, j)) * f(lcm(i, j))$
$=\prod f(p^{min(q1,q2)})*\prod f(p^{max(q1,q2)})$
$=\prod f(i)*f(j)$

于是：
$Ans$
$=\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n f(gcd(i, j)) * f(lcm(i, j))$
$=(\sum_{i =1}^n f(i))^2$

$(\sum_{i =1}^n f(i)$
$=\sum_{i = 1}^n \sum_{d|i}μ(d)*d$
$=\sum_{i=1}^n μ(i)*i*{\lfloor {n\over i}\rfloor}$

那么用杜教筛筛一下μ(i)*i这个积性函数，接着分块统计答案就好了。

设 $s(n)=\sum_{i=1}^n μ(i)*i$ ,最后的问题是杜教筛求 $s(n)$ 。

$\sum_{i=1}^n i * \sum_{j|i}μ(j)$
$= 1$
$=\sum_{i=1}^n i*\sum_{j = 1}^{\lfloor {n\over i}\rfloor}j*μ(j)$
$=\sum_{i=1}^n i*s({\lfloor {n\over i}\rfloor})$

$s(n)$
$=1-\sum_{i = 2}^n i *s({\lfloor {n\over i}\rfloor})$

Code:

#include<cstdio>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(ll i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const ll mo = 1e9 + 7, M = 16491531, ni_2 = 5e8 + 4;
const ll N = 5e6;

ll n;
bool bz[N + 5]; ll p[N / 10], mu[N + 5];
ll h[M][2];

void Build() {
    mu[1] = 1;
    fo(i, 2, N) {
        if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i, mu[i] = -1;
        fo(j, 1, p[0]) {
            ll k = i * p[j];
            if(k > N) break;
            bz[k] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
                mu[k] = 0; break;
            }
            mu[k] = -mu[i];
        }
    }
    fo(i, 1, N) mu[i] = (mu[i - 1] + mu[i] * i) % mo;
}

ll hash(ll x) {
    ll y = x % M;
    for(; h[y][0] != x && h[y][0] != 0; y = (y + 1) % M);
    return y;
}

ll dg(ll n) {
    if(n <= N) return mu[n];
    ll y = hash(n);
    if(h[y][0] == n) return h[y][1];
    h[y][0] = n;
    ll ans = 1;
    fo(i, 2, n) {
        ll j = n / (n / i);
        ans -= (i + j) * (j - i + 1) % mo * ni_2 % mo * dg(n / i) % mo;
        i = j;
    }
    ans = (ans % mo + mo) % mo;
    h[y][1] = ans;
    return ans;
}

int main() {
    Build();
    scanf("%lld", &n);
    ll s = 0, la = 0, la2 = 0;
    fo(i, 1, n) {
        ll j = n / (n / i);
        la2 = dg(j);
        s = (s + (n / i) % mo * (la2 - la) % mo) % mo;
        la = la2;
        i = j;
    }
    printf("%lld", s * s % mo);
}