Electric Fences_usaco3.4_皮克定理

最新推荐文章于 2024-07-14 10:05:36 发布

olahiuj

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分类专栏： c++ 计算几何 usaco 文章标签：皮克定理 cpp usaco

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本文介绍了一种利用皮克定理计算由三个整点构成的三角形内整点数量的方法。通过分析三角形的顶点坐标，并结合皮克定理中的公式，可以有效地得出三角形内部的整点数。该方法适用于解决几何问题中的整点计数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定两个整点 $(m,n)$ 和 $(p,0)$ ，与坐标原点 $(0,0)$ 构成三角形，求三角形内的整点数量

Analysis

找到这么一道神奇的题目以及神奇的定理

皮克定理

一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式： $S=a+\frac{b}{2}-1$ ，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积

$S=\frac{ah}{2}$ ， $b=p+gcd(n,m)+gcd(\left|p-n\right|,m)$ ，那么 $a=S-\frac{b}{2}+1$

Code

/*
ID:wjp13241
PROG:fence9
LANG:C++
*/
#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;
struct pos{int x,y;}t[3];
double cros(pos a,pos b,pos c)
{
    return ((a.x-c.x)*(b.y-c.y)-(b.x-c.x)*(a.y-c.y))*0.5;
}
int gcd(int x,int y)
{
    return !y?x:gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&t[1].x,&t[1].y,&t[2].x);
    double S=fabs(cros(t[1],t[2],t[0]));
    int b=t[2].x+gcd(t[1].x,t[1].y)+gcd(fabs(t[2].x-t[1].x),t[1].y);
    printf("%d\n",(int)(S-b/2+1));
    return 0;
}