2021牛客多校9 A Math Challenge（类欧几里得算法+自然数幂前缀和）

题意

求 $\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor }{i}^p{j}^q$。对 $998244353$ 取模。
其中，$1\le n,c\le 10^9,0\le a,b\le 10^9,0\le p,q\le 50$。

分析

这形式一看就很类欧，考虑像类欧那样求。
首先定义 $f(a,b,c,n,p,q)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor }{i}^p{j}^q$。

1. $b\ge c$
   $\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor }{i}^p{j}^q=\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+bmodc}{c}\rfloor +\lfloor \frac{b}{c}\rfloor }{i}^p{j}^q$
   记 $k=\lfloor \frac{b}{c}\rfloor$
   考虑求 $\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^k{i}^p{j}^q$。很显然这就是两个自然数幂前缀和相乘，要注意减去 $q=0$ 的情况。
   接下来考虑另一部分，即
   $\sum _{i=0}^n{i}^p\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+bmodc}{c}\rfloor }(j+k{)}^q$，用二项式定理展开，可得：
   $\sum _{i=0}^n{i}^p\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+bmodc}{c}\rfloor }(j+k{)}^q=\sum _{i=0}^n{i}^p\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+bmodc}{c}\rfloor }\sum _{t=0}^q{C}_q^t{j}^t$