Gym 102055K Mr. Panda and Kakin（欧拉定理降幂 + O(1)快速乘

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该博客介绍了如何利用欧拉定理解决模幂方程 x^230 + 3 ≡ c (mod n)，其中 n 是两个相邻素数的乘积。通过分解 n 并找到 t（230 + 3）关于 φ(n) 的逆元，使用 O(1) 快速乘避免长整数溢出，从而求解 x 的值。提供了详细的分析和代码实现。

题意

给定 $n$ , $c$ $(n, c < 1 e 18)$
其中 $n$ 是两个相邻素数的乘积
求 $n)x^{2^{30}+3}\equiv c~(mod~n)$ 的解 $x$

分析

首先将 $n$ 进行分解，因为素数相邻，所以从 $n\sqrt{n}$ 开始遍历，得 $n = p * q$
由积性函数
$φ(n)=(p−1)(q−1)\varphi(n) = (p-1)(q-1)$
令 $t = 2^{30}+3$
因为 $t$ 是质数，所以
$n)x^{t}\equiv x^{t~mod~\varphi(n)}~(mod~n)$
$t$ 关于 $φ(n)\varphi(n)$ 的逆存在，记为 $t^{-1}$ ，可以用 $e x g c d$ 求出
于是 $n)x\equiv x^{tt^{-1}}\equiv c^{t^{-1}}~(mod~n)$
所以只要求出
$c^{t^{-1}}~mod~n$ 即可
不过由于 $c, n$ 都是 $l o n g l o n g$ 范围，溢出时取模会发生错误，于是用
$O (1)$ 快速乘来解决这个问题
由于取余运算实现如下：
$\left\lfloor\dfrac{ab}{p}\right\rfloor*p$
我们只要保证差值是正确得即可，于是让两个同时溢出，就能保证差值是正确的
代码如下：

//t = a * b % p
LL mul(LL a, LL b, LL p){
	LD x;
	x = LD(a) / p * b;
	return ((a * b - x * p) % p + p) % p
}

这样子问题就解决了

总代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
LL n, c, p, q, t, x, y, w = (1 << 30) + 3;
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
	if(!b) x = 1, y = 0;
	else{
		exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= a / b * x;
	}
}
LL mul(LL a, LL b, LL p){
	LD x;
	return ((a * b - LL(LD(a) / p * b) * p) % p + p) % p;
}
LL ksm(LL a, LL b, LL p){
	LL s = 1;
	while(b){
		if(b % 2) s = mul(s, a, p);
		a = mul(a, a, p);
		b /= 2;
	}
	return s;
}
int main(){
	int i, j, m, T, tt;
	scanf("%d", &T);
	for(tt = 1; tt <= T; tt++){
		scanf("%lld%lld", &n, &c);
		for(i = sqrt(n); i; i--){
			if(n % i == 0){
				p = i;
				q = n / i;
				break;
			}
		}
		t = (p - 1) * (q - 1);
		//return 0;
		exgcd(w, t, x, y);
		x = (x % t + t) % t;
		printf("Case %d: ", tt);
		printf("%lld\n", ksm(c, x, n));
	}
	return 0;
}